5.5.6. Случай фиксированных переменных

Оценки максимального правдоподобия были получены у нас для модели

Она может рассматриваться как частный случай -компонентной векторной модели

в которой матрица размера состоящая из констант, и . Оценки максимального правдоподобия для и определяются из соотношений

Асимптотическая теория, развитая для В и 2, определяемых уравнениями (3) и (4), может быть распространена и на определяемые из (74) и (75). Однако подробно изложить такую теорию довольно сложно. Поэтому мы наметим ее лишь в общих чертах. (См. Т. Андерсон и Рубин (1950), а также Купменс, Рубин и Лейпник (1950).)

Если (73) выполняется для — фиксированный вектор, то

где

Если (73) выполняется для всех для то решение (73) будет иметь вид

Разность равна при этом где определено в (7).

Теорема 5.5.9. Пусть определяется соотношением (73) для при фиксированном векторе определяется тем же соотношением (73) для всех Пусть при этом случайные величины независимы, а характеристические корни матрицы —В лежат в единичном круге. Тогда, если для для некоторого то справедливы соотношения (18), (19), (20) и

Доказательство. Мы имеем

Первый, третий и пятый члены в правой части, деленные на сходятся по вероятности к нулю в силу доказательства теоремы 5.5.1. Сумма математических ожиданий квадратов компонент второго члена равна

Поскольку

и каждый элемент вектора меньше то сумма (82) равномерно ограничена (по лемме 5.5.1). Из этого следует, что разность (81), деленная на сходится по вероятности к нулю. Рассмотрим теперь

Сумма математических ожиданий квадратов компонент (84) ограничена по тем же причинам, что и выше (надо только заменить на Это доказывает (79). Далее,

Сумма математических ожиданий квадратов компонент последней матрицы также равномерно ограничена. (См. доказательство теоремы 5.5.1.) Наконец,

Таким образом, теорема доказана.

Как и в разд. 5.5.2, асимптотические свойства оценок и (при соответствующих предположениях) одинаковы и для определяемого (73) при с фиксированным вектором , и для определяемого (73) при всех . В связи с этим мы в дальнейшем будем рассматривать только последний случай, используя обозначение у, для (78).

Лемма 5.5.8. Пусть определяется соотношением (78), в котором независимы, а матрица —В такова, что все ее характеристические корни лежат в единичном круге, Тогда, если для некоторого то

Доказательство. Сумма математических ожиданий квадратов компонент допредельной матрицы в (87) равна

и сходится к нулю при Сумма математических ожиданий квадратов компонент допредельной матрицы в (88) равна

и также сходится к нулю,

Из леммы 5.58 вытекает, что

Последние соотношения в совокупности с леммой 5.5.2 дают

Предположим теперь, что существуют пределы

Тогда

и

Правая часть последнего неравенства сходится к нулю. Таким образом,

Из (92) и (98) выводим, что

Из (91), (93) и того факта, что (30) сходится по вероятности к нулевой матрице, получаем

Это показывает, что имеет предел по вероятности и что этот последний должен быть равен

Здесь мы предположили существование предела

Теорема 5.5.10. Пусть характеристические корни матрицы —В лежат в единичном круге, пределы (94), (95) и (102) существуют и при для некоторого Пусть при этом либо и, одинаково распределены, либо для некоторого Тогда, если независимы,

Для состоятельности оценок при этих условиях нужно еще, чтобы матрица (103) была невырожденной.

Лемма 5.5.9. Если матрицы положительно определены, то и матрица (103) положительно определена.

Доказательство. Поскольку

матрица этой квадратичной формы положительно полуопределена. Квадратичная форма

является суммой двух неотрицательных квадратичных форм и поэтому может равняться нулю, только если обе они обращаются в нуль. Поскольку F положительно определена, то из следует, что Поэтому, для того чтобы (105) равнялось нулю, необходимо, чтобы Последнее выполняется лишь при

Теорема 5.5.11. Если в условиях теоремы 5.5.10 матрица F положительно определена, а матрица из соотношения (94) не вырождена, то

Обратимся теперь к асимптотической нормальности и Средние этих случайных величин равны нулю. Выкладки, подобные проведенным в (89) и (90), показывают, что

Положим

где и те же, что и раньше. В данном случае слагаемые в не будут одинаково распределенными, даже если и, одинаково

распределены. Если моменты четвертого порядка равномерно ограничены по легко показать, что будут равномерно ограниченными и четвертые моменты слагаемых в Сложнее показать (с использованием неравенства Гёльдера), что если равномерно ограничены, то будут равномерно ограниченными и моменты порядка в этих слагаемых.

Теорема 5.5.12. Пусть определяется соотношениями (76) или (78), случайные векторы независимы, и все характеристические корни матрицы — В лежат в единичном круге. Пусть, кроме того, для некоторого и существуют пределы (94), (95) и (102). Тогда, если для некоторого то

имеет в пределе при нормальное распределение с нулевым средним и ковариационной матрицей

Теорема 5,5,13. Если выполнены условия теоремы 5.5.12 и если матрицы положительно определены, то

имеет в пределе нормальное распределение с нулевым средним и ковариационной матрицей

Невырожденность матриц предполагается, так что обратная матрица в (117) существует. Если вырождена, то вырожденным будет и предельное нормальное распределение. Если есть скалярная постоянная, то утверждение теоремы будет вытекать из одинаковой распределенности и, с ковариационной матрицей , без привлечения условий на моменты более высокого порядка. Дело в том, что при этом образуют стационарный процесс с конечной зависимостью. В общем случае условия

на можно ослабить в том смысле, что можно требовать только, чтобы и удовлетворяли условию типа Линдеберга. Условие можно также ослабить, заменив его условием

Теорема 5.5.14. Пусть определяется соотношением (1) из § 5.4, в котором независимо распределены, причем все характеристические корни матрицы —В лежат в единичном круге. Пусть, кроме того, для некоторого для некоторого матрица из (94) положительно определена и существуют пределы (95) и (102), где

Тогда имеет в пределе при нормальное распределение с нулевым средним и ковариационной матрицей