6.5.3. Модель, использующая последовательные разности

Займемся теперь другой системой матриц . В § 3.4 мы рассматривали использование сумм квадратов разностей для оценивания дисперсии временных рядов. Если имеют нулевые средние, дисперсии и некоррелированы, то статистика

является несмещенной оценкой для Если средние значения могут отличаться от нуля по-прежнему некоррелированы), то отношение можно использовать для проверки нулевой гипотезы о том, что тренд удовлетворяет условию в предположении, что Если средние равны нулю, а величины могут быть коррелированы, то изменение разностей будет отражать эту корреляцию. В частности, для математическое ожидание равно

Если последовательные пары значений будут положительно зависимыми, то использование статистики приведет к занижению величины дисперсии.

Для проверки гипотезы о сериальной корреляции можно использовать статистику, являющуюся отношением суммы квадратов последовательных разностей к сумме квадратов наблюдений. Если средние известны и равны нулю, то такая статистика имеет вид

Если эту статистику рассматривать как альтернативу к циклическим квадратичным формам, то (40) приводит к равной числителю дроби в правой части (40). Матрицей квадратичной формы является

Она отличается от матрицы квадратичной формы наличием 1/2 в верхнем левом и в правом нижнем углах. Последующие матрицы в этой модели можно образовать с помощью используя соотношения (18) (вытекающие из (16) и (17)). Первые две полученные при этом матрицы имеют вид

Следует отметить, что отличается от желательной для нас матрицы квадратичной формы только добавлением по элементов, равных 1/2, в левый верхний и правый нижний углы.

Определение как полиномов от гарантирует совпадение характеристических векторов с характеристическими векторами матрицы Использование тех же полиномов от что и в системе циклических сериальных коэффициентов корреляции, приводит к тому, что при малых значениях матрицы А не будут сколько-нибудь значительно отличаться от матриц, у которых ненулевые элементы, равные 1/2, стоят на диагоналях, удаленных на единиц от главной. Дело в том, что используемая нами в настоящем случае матрица отличается от матрицы только угловыми элементами. Поэтому матрица при малых будет отличаться от матрицы небольшим количеством элементов.

Для характеристического вектора х с компонентами соответствующего характеристическому корню к, удовлетворяющего соотношению справедливы соотношения

Уравнения (45) можно записать в виде

т. е. в виде разностного уравнения второго порядка. Решением последнего являемся

где и корни характеристического уравнения

соответствующего этому разностному уравнению. Корни различны, если только X не равно 1 или —1. Поскольку то выражение (48) иначе можно записать как

Тогда (44) примет вид

Отсюда и можно положить При этом

Уравнение (46) из тех же соображений может быть записано в виде

так что либо либо Корни уравнения в свою очередь равны Поскольку существует различных значений для Однако значение соответствующее значению для не является допустимым, так как при этом

Остальные значения К являются характеристическими корнями матрицы поскольку у нее существует всего характеристических корней, эти значения к образуют полную совокупность характеристических корней матрицы Для получения компоненты характеристического вектора удобно домножить выражение на 1/2.

Теорема 6.5.4. Характеристические корни матрицы указанной в (41), равны соответствующие им характеристические векторы равны

Следствие 6.5.1. Характеристические корни матрицы получаемой по формулам (16) и (17) из матрицы указанной в (41), равны Соответствующие им характеристические векторы имеют вид (54).

Доказательство. Матрица определена как полином от т. е. Поэтому ее характеристические корни равны где характеристические корни матрицы (в силу теоремы 6.5.1). Из доказательства теоремы 6.5.3, где вытекает, что Используя теорему 6.5.4, получаем утверждение следствия.

Следствие 6.5.2. Матрица из следствия 6.5.1 приводится к диагональному виду с помощью матрицы

Таким образом, и здесь все матрицы приводятся к диагональному виду с помощью одной и той же ортогональной матрицы. Переходя к преобразованным переменным, найдем, что квадратичная

форма принимает в этих переменных вид

Матрицы, используемые в этом параграфе, тесно связаны с матрицами, использовавшимися в методе переменных разностей Положим

Тогда матрица приближенно равна Действительно, эти матрицы отличаются только элементами с индексами Матрицы были приведены в (43), (44), (45) и (46) § 3.4 (и обозначались там как соответственно). Мы имеем:

(см. скан)

Поскольку вектор (54) будет характеристическим вектором матрицы соответствующим характеристическому корню . А так как является полиномом от степени то представляет собой линейную комбинацию матриц