5.5. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ОЦЕНОК МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ
5.5.1. Обсуждение асимптотических свойств
В этом параграфе мы покажем, что оценки максимального правдоподобия, полученные в § 5.4, состоятельны и асимптотически нормальны при неограниченном возрастании периода наблюдений. Хотя доказательства оказываются здесь более сложными, соответствующие условия и результаты подобны сформулированным в теореме 2.6.1 и следствиях 2.6.1, 2.6.2 для оценок наименьших квадратов. В связи с этим при больших выборках и в настоящем случае можно целиком использовать обычную технику регрессионного анализа.
В § 5.3 было показано, что скалярное стохастическое разностное уравнение порядка 
можно рассматривать как частный случай 
-компонентного векторного стохастического разностного уравнения первого порядка
где
Здесь В — матрица коэффициентов размера 
независимы, а характеристические корни матрицы —В лежат в единичном круге. Уравнения, из которых определяются оценки максимального правдоподобия для скалярной модели произвольного порядка, являются частным случаем уравнений, используемых для получения таких оценок в векторной модели первого порядка:
Если и, распределены нормально, а 
считается заданным вектором, то В, определяемая из (3), есть оценка максимального правдоподобия. Нам будет удобно сначала получить асимптотические свойства этих оценок, а затем уже перенести полученные результаты на случай скалярного уравнения 
порядка.
Прежде всего мы покажем, что с точки зрения асимптотической 
теории, случай, когда (1) выполняется при 
а вектор 
фиксирован, ничем не отличается от случая, когда (1) выполняется при всех 
Затем будет показано, что оценка В состоятельна и асимптотически нормальна. Далее находятся дисперсии и ковариации предельного распределения и показывается, что их можно состоятельно оценить. Эти результаты будут распространены на модель скользящего среднего, а также на модель стохастического разностного уравнения, в которой возмущение является скользящим средним. 
При проведении доказательств предполагается, что все характеристические корни скалярного стохастического разностного уравнения различны и что в векторном случае матрицу —В можно привести к диагональному виду. Однако соответствующие результаты будут иметь силу и без этих предположений. Важно только, чтобы характеристические корни лежали в единичном круге. Указания на необходимые изменения в доказательствах вынесены в подстрочные примечания.
