9.2.3. Примеры оценок спектральной плотности

Как уже отмечалось, в качестве оценок спектральной плотности эложно брать линейные комбинации выборочных ковариаций Это приводит к спектральным окнам, являющимся полиномами степени не выше Ниже будут рассмотрены различные варианты подобных оценок. Во многие ядра будут входить функции Мы рекомендуем читателю в каждом из рассматриваемых ниже случаев строить графики последовательностей и функций

А. Выборочная спектральная плотность. Выборочная спектральная плотность имеет указанный выше вид с для

для Окна здесь таковы:

(Отметим, что до не совпадает с дельта-функцией Дирака.

Дело в том, что является линейной комбинацией только

Рис. 9.1. Функция для

Рис. 9.2. Функция для .

Т косинус-функций.] Окно неотрицательно и имеет максимум, равный в точке и минимум, равный О, в точках или Между его нулями, в точках, являющихся корнями уравнения расположены локальные максимумы. Указанные корни приближенно равны для или (Если нечетное, то локальные максимумы расположены в точках Окно имеет максимум в точке и нули в точках для Его локальные максимумы и локальные минимумы располагаются поочередно между нулями, в точках, являющихся корнями уравнения (Если нечетное, то в точках будет относительный максимум; при четном в этих точках будет относительный минимум.) Графики этих окон представлены на рис. 9.1 и 9.2,

Окна, представленные на рис. 9.1 и 9.2, обладают чертами, характерными для весовых функций. У них имеется ярко выраженный: пик с центром в нуле и боковые лепестки, высота которых уменьшается по мере того, как их центры удаляются от нуля. Если ядра неотрицательное, такое, как то это обеспечивает неотрицательность взвешенного с этим ядром интеграла от неотрицательной функции или При ядре, принимающем и положительные и отрицательные значения, таком, как представленное на рис. 9.2, взвешенный интеграл может быть и отрицательным. Получающиеся при этом оценки и математические ожидания оценок следует, конечно, считать неудовлетворительными, поскольку сами неотрицательны. Ввиду того что выполняются равенства

В. Усеченная оценка. Усечение рядов, входящих в выражение выборочной спектральной плотности, дает оценку в виде к k.

где — некоторое целое число, Выборочные ковариации в этой оценке опускаются. Дело в том, что последние основываются на относительно малом числе произведений: и вносят сравнительно небольшую информацию. Соответствующими коэффициентами здесь являются для для Остальные коэффициенты таковы: для для Окна имеют вид

Максимум окна расположен в точке и равен

последняя величина равна, например, Это окно принимает и положительные и отрицательные значения. Окно принимает максимальное значение в точке и имеет нули в точках Его относительные минимумы и максимумы расположены между этими нулями. Чем меньше К, тем меньше по величине

пики окон и тем дальше отстоят нули от начала координат.

С. Оценка Бартлетта. Ошибку, связанную с отбрасыванием вклада выборочных ковариаций высших порядков при усечении ряда, можно уменьшить, вводя некоторый демпфирующий (затухающий) множитель. С этой целью, рассматривают оценку

Коэффициентами здесь являются для для в отличие от соответственно в случае простого усечения. Коэффициенты равны для и 0 для в отличие от коэффициентов, равных 1 и 0 соответственно, для простого усечения. Несмещенные оценки линейно демпфируются до нулевого значения при Соответствующие окна имеют вид

причем последнее выражение нельзя упростить. (См. упр. 7.) Некоторые свойства окна описаны с помощью эквивалентного ему окна в примере

Бартлетт (1950) заметил, что вариабельность оценок спектральной плотности можно уменьшить, если разбить наблюдаемый временной ряд на равных отрезков длины и вычислить выборочную спектральную плотность на каждом из них.

Усредняя полученные результаты, приходим к следующей оценке;

Каждая двойная сумма в (37) является несмещенной оценкой соответствующего При этом не используется несколько произведений Если все такие несмещенные оценки заменить на соответствующие то в результате получится (34).

D. Модифицированная оценка Бартлетта. Если в предыдущую оценку ввести еще один сглаживающий множитель та в результате получим оценку

Коэффициенты равны в этом случае для и нулю для тогда как в обычной оценке Бартлетта они равны соответственно . Коэффициенты равны для для обычной оценке Бартлетта они были равны соответственно величине и 0. Окна здесь таковы:

Окно неотрицательно, что обеспечивает неотрицательность оценки Максимум расположен в точке и равен Минимум до равный нулю, достигается в точках или Такая модификация оценки Бартлетта рассматривалась у Гренандера и Розенблатта (1957, стр. 146), а также у Хеннана (1960), которые включали ее в общую асимптотическую теорию.

Е. Оценка Даниэля. Помимо оценивания значения в одной точке к можно попытаться оценивать на целом отрезке. (См. обсуждение этого вопроса Бартлеттом (1946).) Если таким отрезком является то интеграл иначе можно записать в виде взвешенного интеграла где

(Если не принадлежит отрезку то следует использовать периодичность с периодом функций Для указанного оценивания можно использовать

где для Входящие сюда коэффициенты являются коэффициентами Фурье функции Именно,

Отметим, что не идентична

Получающееся в итоге окно до ( является линейной комбинацией функций наилучшим образом аппроксимирующей в смысле среднеквадратичной ошибки

Аппроксимация функции функцией до ( не может быть одинаково хорошей для всех значений Действительно, она не будет очень хорошей в точках разрыва т. е. в точках Осцилляция аппроксимирующего гармонического ряда вблизи точек разрыва известна под названием тления Гиббса [Ланцош (1956, гл. 4), и Хемминг (1962, гл. 22)]. Ее можно уменьшить, умножая до на соответствующие веса.

Ряды (42) могут быть усечены, например, до при этом для Такая оценка часто называется прямоугольной. Окно до отличается от наличием множителей и использованием лишь конечного числа коэффициентов.

F. Общие оценки Блэкмена-Тьюки. Блэкмен и Тьюки (1959) предложили две оценки (названные ими соответственно окнами Хеннинга и Хемминга), являющиеся частными случаями оценки

Коэффициенты убывают от значения 1 в точке до значения в точках и равны нулю для Оценку (45) можно представить иначе в виде

где — усеченная выборочная спектральная плотность (см. пример В), Таким образом, для вычисления следует подсчитать и взять затем скользящее среднее (46). Спектральные окна» соответствующие оценке (45), выражаются через спектральные окна, соответствующие усеченной выборочной спектральной плотности и имеют вид

(см. скан)

Максимум расположен в точке и равен .

G. Окно Хеннинга. Особый интерес представляет частный случай уценки Блэкмена — Тьюки, отвечающий значению т. е. оценка

Как видно из (49), она получается простым усреднением двух средних усеченных выборочных спектральных плотностей. Веса убывают от единицы в точке до нуля в точках Нули функции расположены в точках Максимум достигается при и равен Окно, соответствующее модифицированной оценке Бартлетта (с тем же значением имеет точно такой же максимум. В то же время его нули располагаются в точках для или Иначе говоря, все нули модифицированного окна Бартлетта являются одновременно и нулями окна Хеннинга, но последнее имеет еще и дополнительные нули, расположенные вблизи относительных максимумов модифицированного окна Бартлетта (за исключением максимума в нуле). Этот факт заставляет предполагать, что боковые лепестки окна Хеннинга будут меньшими по сравнению с боковыми лепестками модифицированного окна Бартлетта.

Н. Окно Хемминга. С целью уменьшения размеров первых лепестков Блэкмен и Тьюки (1959) предложили в оценке (45) брать

При этом значении а (45) принимает вид

I. Оценка Парзена. Модифицированную оценку Бартлетта можно рассматривать как частный случай оценок с соответствующий значению Парзен предложил использовать и другие значения Если то

а соответствующее ему окно

Максимум этого окна расположен в точке и равен

J. Оценка Парзена. Для четного Парзеном предложена следующая оценка:

(см. скан)

Функция, равная для для и 0 для пропорциональна плотности распределения среднего четырех независимых случайных величин, равномерно распределенных на отрезке от —1 до 1. Функция, равная для и 0 для (связанная с модифицированной оценкой Бартлетта), пропорциональна плотности распределения среднего двух таких случайных величин. (См. упр. 9.) Но характеристической функцией указанного равномерного распределения является Поэтому окно для выборочной спектральной плотности в случае оценки Парзена (53) соответствует характеристической функции а в случае модифицированной опенки Бартлетта — функции .

Полагая и используя результат упр. 12, найдем окна Парзена из соотношения

Замечая, что

получаем из (54):

Для больших К и малых первый член в (56) существенно больше остальных. Окно неотрицательно; поэтому неотрицательна и оценка

К. Усреднение по дискретным значениям . В ряде случаев вычисляется для . В частности, такой подсчет производится в случае, когда велико и используется быстрое преобразование Фурье (разд. 4.3.5). Следующая оценка тесно связана с оценкой Даниэля (пример E), но основывается на значениях

Для значений эта оценка имеет веса

совпадающие с весами Даниэля (пример Е), в которых величины в знаменателе (43) заменены величинами .