7.6.3. Разложение Вольда

Так называемое вольдовское разложение [Вольд (1954)] проясняет структуру стационарного процесса.

Теорема 7.6.7. Если регулярный стационарный случайный процесс с его можно представить в виде

где для Последовательности и определяются единственным образом.

Доказательство. Пусть Так как элемент ортогонален то Пусть Тогда

откуда Поэтому сходится в среднем и лежит внутри подпространства, порожденного Определим следующим образом:

Тогда для для потому что ортогонален всем элементам из и Так как элемент и, ортогонален то он принадлежит По индукции для следовательно, и, принадлежит Решение единственно, потому что элемент ортогонален

Теорема 7.6.8. Процесс определенный в теореме 7.6.7, детерминированный, а процесс где регулярный.

Доказательство. Для доказательства детерминированности процесса нужно показать, что замкнутое линейное множество, которое натянуто на (обозначим его есть т. е. нужно показать, что Тогда есть линейная комбинация (может быть бесконечная) элементов

Лемма 7.6.1.

Доказательство. Здесь является подпространством, ортогональным порожденному Если то следовательно, ортогонален для каждого т. е. Обратно, пусть Так как то хотя бы для одного Так как то и по

индукции для Более того, для так как: Лемма доказана.

Лемма 7.6.2.

Доказательство. Так как то подпространство натянутое на содержится в подпространстве натянутом на Обратно, поэтому Это доказывает лемму.

Закончим теперь доказательство теоремы 7.6.8. Так как для каждого то Поскольку то из следует, что ввиду того, что Из этого следует, что и что — детерминированный процесс.

Так как Таким образом, регулярный процесс, и требовалось доказать.

Процесс часто называют чисто детерминированным. Процесс называют чисто недетерминированным, так как он не имеет детерминированной компоненты.

Так как то есть проекция на Эта проекция есть наилучший линейный прогноз для По лемме 7.6.2 и, следовательно, является линейной функцией от или их пределом.

Спектральная плотность процесса есть Процесс не имеет абсолютно непрерывной компоненты, и его спектральная функция состоит из ступенчатой и сингулярной компонент. Мы не будем доказывать последнее утверждение. [См. (1953, гл. XII, разд. 4).]

Колмогоров (1941b) показал, что дисперсия величины (ошибка линейного прогноза) есть

Действительно, будет регулярным процессом тогда и только тогда, когда почти всюду и

Разложение функции в ряд Фурье действительно (так как есть действительная и симметричная функция); тогда

Если процесс имеет спектральную плотность если (32) выполняется, то

Тогда наилучшим линейным прогнозом для по будет 2 Выясним теперь, справедливо ли соотношение

Если оно справедливо, то наилучшим линейным прогнозом для будет Если представление (35) существует, то можно записать

Здесь и

Для большей точности предположим, что функция аналитическая и не равна нулю при Тогда

есть аналитическая функция, не равная нулю при Отсюда

существует и определено, так как ограничено. Следовательно, (35) существует как предел в среднеквадратичном. Если

где то пусть

Тогда

Остается показать, что спектральная плотность для (41) есть

В большинстве случаев задачу прогнозирования можно рассматривать как нахождение которые минимизируют

Нормальные уравнения будут иметь вид

Они эквивалентны

Таким образом, мы хотим найти такую функцию

что положительные коэффициенты Фурье выражения равны нулю.

Более определенные результаты получены Акутовицем (1957), их мы приводим без доказательства.

Теорема 7.6.9. Если ограничена, то (35) справедливо с ограничением тогда и только тогда, когда функция такова, что интеграл

ограничен при

Говорят, что функция регулярная в круге принадлежит классу Харди если интеграл (48) ограничен при [См. Зигмунд, (1959, т. I, гл. VII, разд. 7); см.,также Гренандер и Розенблатт (1957, стр. 288).]

Теорема 7.6.10. В условиях теоремы 7.6.9 наилучшим линейным прогнозом будет

Теория прогнозирования развивалась независимо Колмогоровым (1941а), (1941b) и Винером (1949) (первоначальная публикация ограниченного распространения — в 1942 г.). Парзен (1961а) использовал подход, основанный на теории гильбертовых пространств.