Глава 9. ОЦЕНИВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ

9.1. ВВЕДЕНИЕ

Если стационарный случайный процесс имеет абсолютно непрерывную спектральную функцию, то дисперсия и ковариации такого процесса однозначно выражаются через его спектральную плотность. Представляет интерес оценка спектральной плотности процесса по его наблюдениям в последовательных моментов времени.

В гл. 8 была подробно изучена выборочная спектральная плотность Было показано, что сходится при к теоретической спектральной плотности Однако дисперсия величины не стремится при этом к нулю, вследствие чего не может считаться удовлетворительной оценкой для

В настоящей главе будет рассмотрено оценивание значения в точке с помощью величин вида

где суть надлежащим образом выбранные числа, зависящие от Т. Такую оценку можно записать иначе в виде т. е. в виде взвешенного среднего величины Весовая функция также может зависеть от Т. Подобного рода оценки вводятся в 9.2. Там же приведен целый ряд примеров. Математическое ожидание

такой оценки равно причем и здесь весовая функция может зависеть от Т. Состоятельно оценить можно с помощью последовательности таких оценок. В разд. 9.3.2 указан метод построения подобной последовательности и вычислено асимптотическое смещение. В разд. 9.3.3 получены асимптотические дисперсии и ковариации указанных оценок. Эти оценки при соответствующих условиях оказываются (§ 9.4) асимптотически нормальными.

Всюду в этой главе предполагается, что о Поскольку п., в дальнейшем мы всегда будем брать (чем, не теряя общности, упростим вычисления).

Если неизвестно, то в указанной выше оценке следует вместо брать или Тогда вместо взвешиваются уже или Асимптотические свойства этих величин одни и те же.

Если она представляет собой спектральную плотность некоторого конечного процесса скользящего среднего, поскольку в этом случае действительны, Кроме того, если то соответствующий процесс скользящего среднего является усреднением некоррелированных переменных. Заметим, что если той