8.4. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЫБОРОЧНЫХ СРЕДНЕГО, КОВАРИАЦИЙ И СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ

8.4.1. Выборочное среднее

В § 7.7 была доказана центральная предельная теорема (теорема 7.7.8).

Теорема 8.4.1. Если где состоит из независимых и одинаково распределенных случайных величин с

имеет нормальное предельное распределение со средним значением 0 и дисперсией

Существуют и другие условия, при которых выборочное среднее асимптотически нормально. Одно из них будет приведено в разд. 8.4.3. Значение этого результата определяется тем, что допускает использование теории нормальных распределений для выводов относительно при больших Т.

8.4.2. Выборочные ковариации

Для больших выборок статистические выводы для ковариаций могут быть основаны на асимптотической нормальности выборочных ковариаций.

Теорема 8.4.2. Если состоит из независимых и одинаково распределенных случайных величин с имеет нормальное предельное распределение средним значением 0 и ковариациями

Доказательство. Положим Пусть

Тогда и

Заметим, что сумма в правой части формулы имеет только конечное число ненулевых членов.) Так как не зависит от если и различаются более чем на то является конечно-зависимым стационарным процессом со средним значением и дисперсией

Но теореме имеет нормальное предельное распределение со средними значениями 0 и ковариациями, которые даются формулой (6). Теперь рассмотрим

где

Пусть

Положим для для и пусть для для Тогда для

Заметим, что

Дисперсия величины есть

Таким образом, для

которая не зависит от и стремится к 0, когда Аналогично для

имеет ту же самую границу. Тогда

По следствию 7.7.1 предельное распределение величины есть предел по предельного распределения величины Это доказывает теорему.

Следствие 8.4.1. В условиях теоремы 8.4.2 предельные распределения величин нормальны со средними значениями 0 и ковариациями, которые даются формулой (2).