Главная > Статистический анализ временных рядов
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

8.3.2. Выборочные ковариации

Если среднее значение известно, то определенное формулой (7) § 8.2, является несмещенной оценкой Оценка имеет смещение — и для любого предел смещения равен 0 при

В разд. 8.2.2 было показано, что когда неизвестно, математические ожидания оценок являются линейными комбинациями величин о Отсюда, вообще говоря, следует, что они смещены. Покажем, что это смещение имеет порядок . Действительно, смещение приблизительно в раз отличается величины

предел которой равен если последний ряд сходится. Разность между и как видно из формулы (50) § 8.2, содержит три члена. Последний из них совпадает с выражением (26), умноженным на Второй и третий члены дают в сумме Поскольку

когда если то смещение, умноженное на сходится к Аналогично можно получить и другие оценки, такие, как

Теорема 8.3.2. Если то

Если непрерывна при то

Вернемся теперь к ковариациям оценок. Большинство этих результатов было получено Бартлеттом (1935), (1946) и Парзеном (1957b). Из теоремы 8.2.6 имеем

Предел выражения (30) равен

если ряд сходится. Так как правая часть в (31) симметрична относительно (ввиду симметрии указанной в упр. 2), то ограничение можно отбросить.

Следующее выражение представляет собой интегральную форму ковариации, когда

(см. скан)

потому что и [Во втором выражении в формуле (32) интегрирование от до заменяется интегрированием от до при замене на Если предположить, что функция непрерывна при то она равномерно непрерывна. Равномерно непрерывны также и функции и Тогда

есть равномерно непрерывная функция по Интеграл (32) можно переписать следующим образом:

Первый интеграл в правой части (34) сходится к Абсолютное значение второго интеграла меньше, чем умноженное на выражение

для любого так как

Правую часть (35) можно сделать сколь угодно малой, если 8 выбрать достаточно малым, а достаточно большим. Таким образом, предел второго слагаемого правой части (34) равен 0.

Теорема 8.3.3. Если непрерывна при и если

выполняется условие

Для гауссовского процесса к Если процесс скользящего среднего, т. е.

где и если то центральные моменты четвертого порядка процесса будут равны

Если независимы (или их моменты до четвертого порядка соответствуют моментам независимых величин), то каждое математическое ожидание приведенной выше суммы равно 0, если только ни

одна из следующих трех пар соотношений не имеет места:

или

Тогда равно

Если процесс стационарен, то Ли не зависит от Имеем

где есть семиинвариант четвертого порядка величины и

Тогда

Следствие 8.3.1. Если процесс порожден соотношением (39), где при

то

Доказательство. Из условия следует, что

и функция

непрерывна. Таким образом, следствие 8.3.1 вытекает из теоремы 8.3.3. Одновременно доказана и теорема 8.3.2.

Для любого процесса такого, что для него и , предельный дисперсией величины будет

(см. скан)

Слагаемое появляется в каждой предельной дисперсии независимо от Второе слагаемое

по абсолютной величине меньше или равно

a последнее сходится к 0 при если

Если то предельная дисперсия стремится к когда

Теперь мы обратимся к оценкам ковариаций, когда среднее значение неизвестно, таким, как

Поскольку инвариантна относительно сдвига предположим, что Из выражений (62) и (65) § 8.2 получаем

(см. скан)

Если то для любого существует такое, что для всех Тогда

если Таким образом, если достаточно большое (с фиксированными ), то сумма будет удовлетворять (55) для значений в пределах от 1 до доля которых сколь угодно велика. Аналогично сумма будет отличаться не более, чем на от величины Для сколь угодно большой доли значений если достаточно велико. Поэтому первая тройная сумма правой части (54) приближается к Точно также каждая сумма, включающая произведения ковариаций, имеет тот же предел. Соответствующий анализ выражений семиинвариантов четвертого порядка показывает, что если

то первая сумма, включающая семиинварианты четвертого порядка, имеет предел. Действительно, если линейный процесс, определенный формулой (39) с сумма, включающая

имеет предел

Сумма, включающая к , имеет предел

Сумма, включающая имеет предел

Следствие 8.3.2. моменты процесса вплоть до четвертого порядка соответствуют стационарности и если то

если Если есть линейный пррцесс последние две суммы в (60) выражаются соответственно формулами (57) и (58). Первый член в правой части (60) равен

Таким образом, разность между и имеет порядок если от и если моменты процесса до четвертого порядка включительно стационарны. Для больших выборок мы можем использовать как аппроксимацию для можно исследовать подобным же образом.

1
Оглавление
email@scask.ru