Предел выражения (30) равен
если ряд сходится. Так как правая часть в (31) симметрична относительно
(ввиду симметрии
указанной в упр. 2), то ограничение
можно отбросить.
Следующее выражение представляет собой интегральную форму ковариации, когда
(см. скан)
для любого
так как
Правую часть (35) можно сделать сколь угодно малой, если 8 выбрать достаточно малым, а
достаточно большим. Таким образом, предел второго слагаемого правой части (34) равен 0.
Теорема 8.3.3. Если
непрерывна при
и если
выполняется условие
Для гауссовского процесса к
Если
процесс скользящего среднего, т. е.
где
и если
то центральные моменты четвертого порядка процесса
будут равны
Если
независимы (или их моменты до четвертого порядка соответствуют моментам независимых величин), то каждое математическое ожидание приведенной выше суммы равно 0, если только ни
одна из следующих трех пар соотношений не имеет места:
или
Тогда
равно
Если процесс стационарен, то Ли не зависит от
Имеем
где
есть семиинвариант четвертого порядка величины
и
Тогда
Следствие 8.3.1. Если процесс
порожден соотношением (39), где
при
то
Доказательство. Из условия
следует, что
и функция
непрерывна. Таким образом, следствие 8.3.1 вытекает из теоремы 8.3.3. Одновременно доказана и теорема 8.3.2.
Для любого процесса такого, что для него
и
, предельный дисперсией величины
будет
(см. скан)
Слагаемое
появляется в каждой предельной дисперсии независимо от
Второе слагаемое
по абсолютной величине меньше или равно
a последнее сходится к 0 при
если
Если
то предельная дисперсия стремится к
когда
Теперь мы обратимся к оценкам ковариаций, когда среднее значение неизвестно, таким, как
Поскольку
инвариантна относительно сдвига
предположим, что
Из выражений (62) и (65) § 8.2 получаем
(см. скан)
Если
то для любого
существует
такое, что
для всех
Тогда
если
Таким образом, если
достаточно большое (с фиксированными
), то сумма
будет удовлетворять (55) для значений
в пределах от 1 до
доля которых сколь угодно велика. Аналогично сумма
будет отличаться не более, чем на
от величины
Для сколь угодно большой доли значений если
достаточно велико. Поэтому первая тройная сумма правой части (54) приближается к
Точно также каждая сумма, включающая произведения ковариаций, имеет тот же предел. Соответствующий анализ выражений семиинвариантов четвертого порядка показывает, что если
то первая сумма, включающая семиинварианты четвертого порядка, имеет предел. Действительно, если
линейный процесс, определенный формулой (39) с
сумма, включающая