6.5.2. Циклическая модель

Одной из возможных разновидностей сериальных корреляций, имеющей простые математические свойства и достаточно изученной, является так называемый циклический сериальный коэффициент корреляции. Он связан с некоторой циклической вероятностной моделью.

Пусть В есть циркулянт:

Эта матрица ортогональна, Положим

При этом имеем

где Последняя сумма равна плюс Последний член включается в из соображений удобства вычислений»

Определим, далее,

Эта матрица имеет элементы, равные 1/2, на диагоналях, расположенных соответственно на единиц выше и ниже главной диагонали. Последние соответствуют квадратичной форме стоящей в показателе экспоненты плотности стационарного гауссовского процесса, имеющего порядок не ниже, чем Кроме того, матрица А, имеет элементы, равные 1/2, на диагоналях, расположенных соответственно на единиц выше и ниже главной диагонали. Вообще

так что можно записать в виде полинома от

Теорема 6.5.2. Характеристические корни матрицы равны

Характеристическим вектором, соответствующим характеристическому корню 1, является (1, 1, 1). Характеристические векторы, соответствующие характеристическим корням равны

Если четное, то характеристическим вектором, соответствующим характеристическому корню будет

Доказательство. Уравнение, определяющее характеристические корни и характеристические векторы матрицы В,

в покомпонентной записи принимает вид

Таким образом, из (23) следует, что

Используя (24), получаем тогда

Отсюда следует, что характеристические корни матрицы В являются корнями степени из 1, т. е. они равны Если характеристическии вектор, соответствующий корню имеет первую компоненту, равную то его компонентой будет Обозначим этот вектор через Тогда

Если то является двойным корнем. В качестве соответствующих ему характеристических векторов возьмем векторы компоненты которых равны соответственно

Это и доказывает теорему.

Теорема 6.5.3. Характеристические корни матрицы А равны

Характеристическим вектором, соответствующим характеристическому корню 1, является Характеристические векторы, соответствующие характеристическим корням четное, то характеристическим вектором, соответствующим характеристическому корню будет

Доказательство. Поскольку является полиномом от то она имеет те же самые характеристические векторы, что и матрица а ее характеристические корни являются значениями соответствующих полиномов от характеристических корней матрицы (в силу теоремы 6.5.1). Аналогично, характеристические корни и векторы матрицы, являющейся степенью матрицы В, будут характеристическими векторами и степенями характеристических корней матрицы В. Поэтому

Следует отметить, что характеристические векторы образуют здесь последовательности тригонометрических функций, уже использовавшиеся нами при изучении циклического тренда в гл. 4.

Если эти векторы нормировать, они будут образовывать те же ортогональные матрицы, что и в разд. 4.2.2, а именно:

если четное, и

если нечетное.

Итак, все квадратичные формы диагонализируются одной и той же ортогональной матрицей. Преобразование вектора с помощью этой матрицы к вектору приводит квадратичную форму к виду

(Заметим, что значения при совпадают.) Если наблюдения независимы и нормально распределены с нулевыми средними и дисперсиями то подобным же образом будут распределены и переменные

Циклический сериальный коэффициент корреляции порядка определяется как

где Он называется так потому, что квадратичная форма строится здесь с участием всех попарных произведений, отстоящих на единиц значений наблюдений и при этом сами наблюдения как бы располагаются вдоль Некоторой окружности на равных расстояниях друг от друга.

Для большей наглядности можно расположить на единичной окружности равноудаленных друг от друга точек, так чтобы одной из них была точка Веса будут абсциссами последних.

Преимуществом циклической модели является то, что при рассмотрении в такой модели коэффициента сериальной корреляции первого порядка соответствующие характеристические корни образуют пары за исключением, быть может, одного или двух, и все используемые матрицы имеют одни и те же характеристические векторы. В § 6.7 будет показано, что если все корни двойные, за исключением, быть может, одного или двух, то распределение или можно записать в явном виде. Практическое неудобство добавления слагаемых вида ухут состоит в том, что такие слагаемые никак не связаны с взаимной зависимостью элементов последовательности. Если при этом имеется тренд (который мы игнорировали), то подобные слагаемые могут оказаться большими по абсолютной величине и это поведет к ошибкам в оценке меры зависимости.