9.2. ОЦЕНКИ, ОСНОВАННЫЕ НА ВЫБОРОЧНЫХ КОВАРИАЦИЯХ

9.2.1. Квадратичные формы в качестве оценок спектральной плотности

Как было показано ранее, значение теоретической спектральной плотности в точке может быть представлено в виде линейной комбинации ковариаций процесса. В то же время каждая из этих ковариаций является математическим ожиданием некоторой квадратичной формы от Поэтому представляется естественным оценивать с помощью квадратичных форм от наблюдаемых значений ряда. Мы будем предполагать пока, что

среднее известно и равно нулю. Возьмем квадратичную форму в виде

[Если известно, но не равно 0, то следует в (1) заменить ] Ее математическое ожидание есть

где

и является, таким образом, линейной функцией теоретических ковариаций которые можно оценить по наблюдениям Подставляя в (2) вместо их выражения через спектральную плотность, представим это математическое ожидание в виде взвешенного среднего спектральной плотности:

Здесь

Ясно, что если интересоваться лишь математическими ожиданиями, то оценку (1) без всякого ущерба можно заменить линейной комбинацией выборочных ковариаций

где

Что касается дисперсий, то дисперсия квадратичной функции удовлетворяющей соотношениям (3) для может оказаться и меньше, и больше, и равной дисперсии (6). (По поводу примеров таких различных случаев см. упр. 5 и 6 гл. 8.) Есть, однако, основания полагать, что зачастую дисперсия оценки (6) будет меньше дисперсий других оценок вида (1), удовлетворяющих (3)

Впрочем, вопрос о том, когда это будет действительно так, остается открытым. Но как бы то ни было оценки (6) сравнительно легко вычисляются, поскольку для этого нужны лишь значения

В случае больших выборок можно доказать, что оценки (6) ничуть не хуже любых других оценок. Если взять последовательность оценок то последовательность оценок где будет иметь ту же последовательность математических ожиданий, что и первая последовательность, для любого стационарного в широком смысле случайного процесса. Гренандер и Розенблатт (1957, разд. 4.2), показали, что если

для некоторого и всех спектральных плотностей из некоторого класса (такого, например, как класс всех линейных процессов), то вторая последовательность имеет в пределе дисперсию, не превосходящую предельной дисперсии первой последовательности, для всякого линейного процесса такого, что первые четыре момента конечны и являются моментами некоторой стационарной последовательности независимых случайных величин, для некоторого выполняются

для всех (Мы не будем доказывать этот результат.) Оценки, основанные на выборочных ковариациях, имеют, по крайней мере асимптотически, наименьшую дисперсию. Поэтому всюду в дальнейшем мы будем рассматривать только оценки, являющиеся линейными комбинациями выборочных ковариаций.

Эти оценки могут быть выражены также с помощью выборочной спектральной плотности, поскольку (теорема 8.2.2)

Используя (10), имеем

где

Отсюда получаем

где

Отметим, что только тогда, когда Весовая функция более удобна для определения указанной оценки как взвешенного среднего выборочной спектральной плотности, а весовая функция для представления математического ожидания этой оценки в виде взвешенного среднего теоретической спектральной плотности.

Дисперсию оценок, подобных (11), можно находить, используя результаты § 8.2. Пусть какая-то другая оценка такого рода. Тогда

(см. скан)

определяется соотношением (73) § 8.2. (Первое выражение для в (16) получается из теоремы 8.2.6, а второе — из теоремы 8.2.8 и соотношения (13) настоящего раздела.) Негауссовская компонента имеет вид