4.4.2. Решающие процедуры, основанные на выборочных амплитудах, для периодов, являющихся делителями длины ряда

Рассмотрим теперь использование выборочных интенсивностей при Если величины нормально распределены, то независимы и имеет -распределение с параметром нецентральности приведенное в (28).

Мы уже упоминали о том, что если где целое число, заключенное между при Если же это не так (т. е. нецелое), то для всех Иными словами, если период функции не является периодом ни одной из ортогональных функций, табулированных столбцами в матрице то все интенсивности, соответствующие периодам указанных функций, положительны. При этом можно ожидать, что интенсивность для близкого к велика. Покажем, что если то тогда наибольшей интенсивностью является либо либо

Лемма 4.4.2. Если то функция

монотонно возрастает при и монотонно убывает при

Доказательство. Запишем функцию в виде

Оба слагаемых в правой части возрастают с ростом х в интервале Можно записать также, что

Здесь оба слагаемых в правой части убывают с ростом в интервале

Поскольку при

то, согласно лемме, возрастает при и убывает при если Отсюда вытекает

Теорема 4.4.2. Если квадратный корень из величины (28), то

В соответствии с полученным результатом распределение с наибольшим параметром нецентральности имеет либо либо В некотором смысле худшим при данном будет такое при котором большая из величин становится минимальной. Однако это значение X и соответствующее ему наибольшее из чисел являются весьма сложными функциями параметров и 0.

Рассмотрим теперь аппроксимации Если то аргументы по абсолютной величине меньше Поэтому при достаточно больших первый член разложения

дает достаточно хорошую аппроксимацию для

Положим Тогда

Поскольку то вторые члены в и соответственно больше первых и больше половин абсолютных значений третьих. То, в какой степени

доминирует второй член, зависит в первом случае от отношения

равного примерно За исключением случая, когда очень мало (маленькая частота и большой период), это отношение велико и второе слагаемое в выражении для доминирует. Если близко к то первое слагаемое можно исследовать бодее точно. Аргумент заменяется на и (38) аппроксимируется посредством

Анализ вторых слагаемых в выражениях для и показывает, что большее из них достигает минимума при Соответствующей аппроксимацией для и является

Если достаточно велико, то (39) близко к Иначе говоря, каждое из составляет около интенсивности гармонической составляющей, а сумма составляет около 81%. Как будет видно из следующего абзаца, значения остальных необходимо должны быть малыми. (Если меньше 1/2, то второе слагаемое в приближенно равно

Полная сумма квадратов значений равна

Ее можно нормировать делением на 772. Если или если то второе слагаемое в правой части (40) равно 0 и

Если то последняя сумма равна

Второй член в (42) будет мал, в частности если велико. Заметим, что в обоих случаях

причем, если нечетное, последнее слагаемое в правой части должно отсутствовать. Коэффициенты задаются соотношениями (23) и (24). Они обычно бывают малы (см. упр. 34 и 35) и вносят малый вклад в сумму квадратов (43). Отсюда следует, что нормированная сумма квадратов математических ожиданий наблюдаемых значений близка к сумме квадратов интенсивностей. Часть последней суммы, не входящая в наибольшую или в следующую за ней по величине амплитуду относится к остальным Предыдущие рассуждения показывают, что наибольшая из этих составляет около 41% указанной суммы квадратов.

Отметим, что сумма квадратов (40), деленная на является параметром нецентральности (30) при . Статистика является квадратичной формой относительно переменных и . Ее можно рассматривать как сумму квадратов двух нормированных ортогональных линейных комбинаций значений Сумма квадратов математических ожиданий этих линейных комбинаций равна сумме квадратов математических ожиданий значений всех наблюдений. Это показывает, что параметр нецентральности распределения статистики принимает максимальное значение при

Процедура, использующая статистики состоит в следующем. Гипотеза принимается, если где выбирается так,

чтобы вероятность (92) из § 4.3 была равна определенному уровню значимости . В противном случае принимается гипотеза Гипотеза означает (теорема 4.4.2), что лежит в пределах между и находится в непосредственной близости к интервалу Используя величины области принятия указанных гипотез можно записать в виде

Покажем теперь, что если верна гипотеза то вероятность прийти к заключению о ее истинности больше вероятности решения о том, что верна какая-либо другая гипотеза и что эта вероятность достигает максимума при (в последнем случае для . Пусть Предположим, что наблюдения нормально распределены.

Лемма 4.4.3. Интеграл

является возрастающей функцией от

Доказательство. Если неравенство равносильно неравенству при надлежащим образом выбранном Тогда имеем

Отсюда и следует утверждение леммы,

Лемма 4.4.4. Вероятность является возрастающей функцией от при фиксированных значениях и убывающей функцией от при фиксированных значениях

Доказательство. Пусть максимальное из чисел Тогда

Интеграл в фигурных скобках является в силу леммы 4.4.3 возрастающей функцией от Аналогично, пусть минимальное из значений Тогда

Интеграл в фигурных скобках является в силу леммы 4.4.3 убывающей функцией от

Теорема 4.4.3. Если

Доказательство, Левая часть (51) больше, чем вероятность события с заменой в условии на Последняя же равна вероятности с заменой в условии на и больше, чем правая часть (51).

Теорема 4.4.4.

Доказательство. Эта теорема вытекает из последовательного применения леммы 4.4.4 с заменой на на в

Вероятности зависят от и вычисление их весьма затруднительно.