6.9. СОВМЕСТНЫЕ И УСЛОВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЕРИАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ КОРРЕЛЯЦИИ

6.9.1. Совместные распределения

Совместное распределение сериальных коэффициентов корреляции можно найти, в принципе, из характеристической функции. Как и в случае отдельного коэффициента, распределение

может быть найдено точно, если характеристические корни матрицы образуют пары, за исключением, возможно, одного корня. Пусть

где . Пусть характеристические корни равны Допустим, что матрицы имеют одну и ту же совокупность характеристических векторов и что 8 является характеристическим вектором матрицы соответствующим корню Если вектор у распределен по закону то распределены как отношения

где независимые случайные величины, каждая из которых распределена по закону Пусть нечетное, скажем и корни образуют пары. Положим

и

Тогда независимые случайные величины, каждая из которых имеет распределение с двумя степенями свободы. Если зафиксировать условие то величины будут равномерно распределены на части этой гиперплоскости, расположенной в положительном ортанте:

При этом распределение совпадает с распределением

и

является отношением -мерного объема пересечения (6) и

к -мерному объему (6). Эта геометрическая задача подобна той, которая решалась при отыскании Множество возможных значений точно найти трудно. Оно включает точки соответствующие для и, кроме того, все линейные комбинации последних с неотрицательными весами. Таким образом, указанное множество во всяком случае должно быть выпуклым телом, содержащим перечисленные точки и

Распределение (8) было дано Кенуем (1949) и Ватсоном (1956).