Глава 3. ТРЕНДЫ И СГЛАЖИВАНИЕ
3.1. ВВЕДЕНИЕ
Мы будем изучать так называемые модели ошибок, в которых наблюдаемые временные ряды интерпретируются как сумма систе матических составляющих, или тренда, и случайных составляющих, или ошибки. В этой главе мы рассмотрим модели, в которых подлежащий изучению тренд с течением времени гладко возрастает или убывает, но не повторяется регулярным образом. В следующей главе будут рассмотрены периодические тренды, поведение которых приблизительно одинаково на различных участках оси времени. Предполагается, что случайные составляющие имеют в каждый момент времени одинаковые дисперсии и некоррелированы. Они могут представлять собой ошибки наблюдения или нерегулярности иного рода. Предположения о равенстве дисперсий и отсутствии корреляции являются определенным приближением к действительному положению вещей. В гл. 10 мы рассмотрим трудности, возникающие в тех случаях, когда эти предположения не выполняются. Иногда наблюдения лучше соответствуют условиям равенства дисперсий и аддитивности ошибки, если преобразовать масштаб измерений изучаемой величины. Например, в ряде экономических исследований производится анализ не самих цен, а их логарифмов. Некоторые линейные комбинации значений переменной в последовательные моменты времени могут быть коррелированы в значительно меньшей степени, по сравнению со значениями самой переменной. Если коэффициенты такой линейной комбинации (например, конечной разности) известны, то ее можно использовать в качестве объекта изучения.
В ряде случаев исследуемый тренд является известной функцией времени или других наблюдаемых величин и некоторых (возможно неизвестных) параметров. Если эта функция зависит от параметров линейно, то имеем обычную регрессию, о которой упоминалось в
гл. 2. Однако некоторые функции времени, как, например, кривые роста, не линейны по параметрам. В таких случаях оценка параметров и проверка гипотез о значениях этих параметров являются далеко не простыми задачами. Мы кратко рассмотрим их в § 3.5.
В другой категории случаев тренд является функцией времени или каких-то иных величин, которая не известна, но может быть адекватно представлена в виде линейной комбинации известных функций времени. Периодический тренд может быть представлен в виде линейной комбинации тригонометрических составляющих (т. е. в виде конечного отрезка ряда Фурье). Статистические аспекты этого приближения рассматриваются в гл. 4. Если тренд флуктуирует, явно смещаясь в сторону возрастания или в сторону убывания, то такой тренд часто можно хорошо приблизить полиномами. Исследование подобного случая производится в § 3.2.
Иногда тренд является неизвестной функцией времени, вид которой настолько меняется за большой промежуток времени, что она не может быть приближена полиномом низкой степени или коротким отрезком ряда Фурье. Методы, использующие свойство «гладкости», изучаются в § 3.3 и 3.4. Эти методы являются непараметрическими.
