5.5.4. Асимптотическая нормальность оценок

Предельное распределение матрицы

совпадаете предельным распределением матрицы Покажем, что предельное распределение произвольной линейной комбинации элементов последней матрицы, например

является нормальным. Положим

Тогда

(Здесь использовано соотношение ) Поскольку ряд сходится, то при Для фиксированного случайная величина

имеет нулевое среднее и дисперсию

Ковариации двух таких величин, взятых в точках равна

Кроме того, последовательность обладает тем свойством, что любое конечное подмножество ее элементов, соответствующих значениям не зависит от элементов, соответствующих Использование теоремы 7.7.5 приводит к следующей лемме.

Лемма 5.5.6. Пусть определены соотношением (45), причем случайные величины и, независимы и одинаково распределены с нулевыми средними и ковариационными матрицами Тогда распределение случайной величины определенной соотношением (46),

имеет при предел

где

а указаны в (50).

Далее,

где

Здесь мы используем следствие 7.7.1.

Лемма 5.5.7. Пусть выполнены условия леммы 5.5.6 и характеристические корни матрицы —В лежат в единичном круге. Тогда случайная величина определенная в (44), имеет в пределе при нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией

Применение теоремы 7.7.7 приводит к искомому результату. Матрицу с элементами обозначим для краткости Это есть кронекерово произведение матриц F и 2.

Теорема 5.5.5. Если выполнены условия лемм 5.5.6 и 5.5.7, то имеет в пределе нормальное распределение с нулевым средним и ковариационной матрицей

Теорема 5.5.6. Пусть последовательность случайных векторов, удовлетворяющих уравнению (1), в котором независимые и одинаково распределенные случайные векторы с и пусть характеристические корни матрицы —В лежат в единичном круге, а матрица F положительно определена.

Тогда имеет в пределе нормальное распределение с нулевым средним и ковариационной матрицей

Доказательство. Этот результат вытекает из теоремы 5.5.5 и (43). (См. упр. 29.)

Теорема 5.5.7. Пусть последовательность случайных величин, удовлетворяющая уравнению (1) из § 5.1 для и пусть корни характеристического уравнения, соответствующего (1), лежат в единичном круге, а случайные величины независимы и одинаково распределены с нулевыми средними и дисперсиями Тогда имеет в пределе нормальное распределение с нулевым средним и ковариационной матрицей

В формулировках теорем 5.5.6 и 5.5.7 условие одинаковой распределенности случайных величин можно заменить условием равномерной ограниченности их моментов порядка или использовать вместо него условие типа Линдеберга.