7.7. НЕКОТОРЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ

Распределения многих статистик, представляющих интерес для анализа временных рядов, слишком усложнены, чтобы ими можно было пользоваться непосредственно. Однако в ряде случаев можно получать предельные распределения, которые используются как аппроксимации к точным распределениям, когда число наблюдений велико. В этом параграфе мы рассмотрим несколько предельных теорем довольно общего характера.

Метод нахождения предельного распределения последовательности случайных величин заключается в нахождении предельного распределения аппроксимирующей последовательности (как в § 5.5).

Теорема 7.7.1. Пусть

Предположим, что для любых существует такое, что при выполняется

для всех , а пусть

при

в каждой точке непрерывности функции Тогда

в каждой точке непрерывности

Доказательство. Из условия (2) следует, что сходится по вероятности к 0 равномерно по при Так как функция непрерывна в точке то для любого существует такое, что

и такое, что суть точки непрерывности Тогда найдется такое что для

Выберем так, чтобы выполнялось (6), и возьмем таким, чтобы зафиксируем Тогда для (зависящего от )

Теперь

Таким образом,

Аналогично получаем

Это и доказывает теорему

Следствие 7.7.1. Пусть для последовательности

и, кроме того, имеет место (3) и (4). Тогда выполняется соотношение (5).

Доказательство. Неравенство Чебышева влечет за собой соотношение (2). Тогда теорема 7.7.1 доказывает утверждение следствия.

Этот результат был получен Андерсоном (1959) и в несколько ином виде Дианандой (1953).

Приведем несколько примеров центральных предельных теорем. Теорема 7.7.4 следует из теоремы 7.7.2.

Теорема 7.7.2. (Центральная предельная теорема Линдеберга.) Пусть последовательность независимых случайных величин, Пусть есть распределение величины

Достаточным условием сходимости распределения суммы к является

при для любого

Условие (17) является также и необходимым для сходимости распределения суммы к если [См. Лоэв (1963, § 21.2)

Теорема 7.7.3. (Центральная предельная теорема Ляпунова.) Пусть последовательность независимых

случайных величин, такая, что и выполняется (16). Достаточным условием сходимости распределения суммы к является

если оно выполняется для некоторого

Теорема 7.7.4. (Одинаково распределенные случайные величины.)

Если независимы и одинаково распределены, то распределение сходится к при

Из теоремы 7.7.1 и следствия 7.7.1 можно получить центральные предельные теоремы для некоторых случайных стационарных процессов. Представляет интерес случай конечной зависимости, в котором переменные независимы, если разность индексов достаточно большая. Конечный процесс скользящего среднего где независимы и одинаково распределены, обладает этим свойством.

Теорема 7.7.5. Пусть стационарный случайный процесс, такой, что для каждого целого и целых распределены независимо от Если то имеет предельное нормальное распределение со средним значением 0 и дисперсией

Доказательство. Пусть

Тогда

и

Для данного целого пусть где т. е. Определим

для Пусть для

Величина есть сумма независимо и одинаково распределенных слагаемых. Для слагаемого имеем

По теореме 7.7.4 сумма всех этих слагаемых, деленная на (т. е. имеет предельное нормальное распределение со средним значением 0 и дисперсией при Таким образом, имеет предельное нормальное распределение со средним значением 0 и дисперсией

Среднеквадратичное значение величины ограничено, так как

Мы использовали тот факт, что Когда (29) стремится к сходится по вероятности к 0. Следовательно, имеет предельное нормальное распределение со средним значением 0 и дисперсией

Для справедливо

а для Поэтому для достаточно большого есть величина сколь угодно малая, равномерно по Т. Заметим, что при Применяя следствие 7.7.1, получим утверждение теоремы.

Теорема 7.7.6. Пусть -последовательность векторных случайных величин, удовлетворяющая условиям теоремы; 7.7.5, где условие заменено на Тогда, имеет предельное нормальное распределение со средним значением 0 и ковариационной матрицей

Доказательство. Это утверждение следует из теоремы 7.7.5 и следующей теоремы.

Теорема 7.7.7. Если последовательность случайных матриц такова, что каждая линейная комбинация элементов имеет предельное нормальное распределение со средним значением 0 и дисперсией то имеет многомерное предельное нормальное распределение со средним значением 0 и ковариациями

Доказательство. Из условия теоремы следует, что

для каждого действительного в частности, для получим

а это есть характеристическая функция многомерного нормального распределения. Так как характеристическая функция непрерывна в то из так называемой теоремы непрерывности [см., например, Крамер (1946, стр. 112)] следует утверждение теоремы.

Эти теоремы можно обобщить и на линейные процессы. [См. также Марсалья (1954) и Парзен (1957а).]

Теорема 7.7.8. Если

где последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин,

(см. скан)

Так как сходится к 0 при Подобным же образом

что сходится к 0 при Тогда

что сходится к 0 при Утверждение теоремы 7.7.8 следует из следствия 7.7.1 и теоремы 7.7.5.

Подобные теоремы (для были доказаны несколько по-иному Мораном (1947) и Дианандой (1953).

Теорема 7.7.9. Пусть - последовательность случайных величин, такая, что для каждого совокупности взаимно независимы. Пусть для некоторого некоторого Пусть последовательность постоянных величин, такая, что для некоторого и такая, что существует предел

Тогда имеет предельное нормальное распределение со средним значением 0 и дисперсией (47).

Доказательство. Пусть Доказательство аналогично доказательству теоремы 7.7.5 с заменой на Случайные величины независимы, но не одинаково распределены. Однако их абсолютные моменты порядка равномерно ограничены величиной ту (неравенство Минковского). Среднеквадратичное значение

разности между [которое совпадает с (24) при замене на ограничено величиной [приближенно равной которая стремится к 0 равномерно при есть (47). Доказательство завершается применением центральной предельной теоремы Ляпунова (теорема 7.7.3).

Следствие 7.7.2. Пусть последовательность случайных величин, таких, что для каждого совокупности независимы. Пусть для некоторого и некоторого Тогда имеет предельное нормальное распределение со средним значением 0 и дисперсией а

Доказательство несколько упростится, если положить Эти результаты применяются для регрессионных оценок.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)