5.9. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ

Вольд (1965) образовывал искусственные временные ряды с помощью разностных уравнений второго порядка, в которых считались независимыми случайными нормальными отклонениями. Три таких ряда затабулированы в приложении там же приводятся их графики. При этом корни характеристического уравнения равны и 0.9 соответственно. В каждом из этих случаев дисперсия величины выбиралась так, чтобы дисперсия равнялась единице. На приведенных графиках можно проследить тенденцию к наличию колебаний с периодом, близким к 6. Этот период выражен заметнее для больших значений у.

Значения первых трех выборочных корреляций указанных рядов для и соответствующих им теоретических корреляций приведены в табл. 5.1.

Таблица 5.1 (см. скан) выборочные и теоретические коэффициенты корреляции для трех процессов авторегрессии

Оценки для и в предположении и оценки для в предположении получаются соответственно из уравнений

Соответствующие результаты приведены в табл. 5.2.

Таблица 5.2 (см. скан) Оценки коэффициентов процессов авторегрессии

Критерий для проверки нулевой гипотезы можно строить, используя статистику значения которой в указанных трех случаях равны соответственно —0.1458, 1.208 и —0.7706. При нулевой гипотезе значения статистики должны быть распределены приблизительно нормально с нулевым средним и единичной дисперсией. Если ограничиться разумными уровнями значимости, например или 10%, то ни в одном из трех случаев нулевая гипотеза не будет отвергнута соответствующими двусторонними критериями.

Юл (1927) предложил использовать процесс авторегрессии в качестве более предпочтительной статистической модели по сравнению с моделью, в которой случайная ошибка накладывается на тригонометрический тренд. (Модель последнего типа рассматривалась нами в гл. 4.) Он применил его к числам Вольфа солнечной активности, которые представляют собой данные ежегодных измерений солнечной активности за период с 1749 по 1924 г. [Эти данные более широко и более подробно представлены Вальдмейером Числа, использованные Юлом, затабулированы в табл. А.3.1 приложения А.З. Подобные данные анализировались Крэддоком (1967). Соответствующие результаты приведены ниже. В первом приближении эти ряды выглядят похожими на искусственные ряды Вольда.

Первые пять корреляций, приведенные Юлом, указаны в табл. 5.3.

Для процесса второго порядка получил оценки

Корни характеристического уравнения равны

. В соответствующей модели имеется тенденция к сохранению периода Это несколько меньше, чем обычно принимаемый период, чуть больший 11 лет. [Шустер (1906) принимает его равным

Таблица 5.3 (см. скан) Корреляции для чисел солнечной активности

Таблица 5.4 (см. скан) последние коэффициенты

Используя данные табл. 5.3, Юл находит оценку параметра в предположении, что процесс имеет порядок (частный коэффициент корреляции) для . Эти оценки приведены в табл. 5.4. Следует отметить, что значения которые должны быть приблизительно нормально распределенными при оказываются относительно малыми по абсолютной величине для

Рис. 5.1. Солнечная активность за период с 1700 по 1965 г.

Рис. 5.2.

Коэффициенты корреляции для чисел солнечной активности по Крэддоку.

Изучение данных солнечной активности было предпринято также Крэддоком (1967), использовавшим ежегодные наблюдения с 1700 по 1965 г. График результатов наблюдений представлен на рис. 5.1. Соответствующие корреляции приведены на рис. 5.2. Крэддок производит подбор различных моделей авторегрессии для от 1 до 30. На рис. 5.3 представлен график отношения (в процентах), где оценка дисперсии на основании модели порядка (с включенной в модель константой). Разность пропорциональна отношению которое используется при проверке гипотезы [См. (16) § 5.6.] Фактически -статистикой является

Рис. 5.3.

Остаточная вариабельность в моделях авторегрессии.

Приведенные данные весьма определенно указывают на то, что должны быть взяты отличными от нуля. Далее, представляется сомнительным, чтобы значения были равны нулю. Значения более похожи на нулевые. Наконец, можно заключить, что будут нулями. В формальных терминах процедуры со многими решениями, описанной в конце разд. 5.6.3, возьмем

Таблица 5.5 (см. скан) ОЦЕНКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРОЦЕССОВ АВТОРЕГРЕССИИ ДЛЯ ИНДЕКСА БЕВЕРИДЖА ЦЕН НА ПШЕНИЦУ С ВЫДЕЛЕННЫМ ТРЕНДОМ

Коэффициенты равны приближенно 1.2, за исключением равного примерно 2.2, и примерно равного 3.8. Если последовательность такова, что то порядок следует выбрать равным 9. Если же для то порядок следует принять равным соответствует

Уиттл (1954) изучал солнечную активность на базе полугодовых данных за период с 1886 по 1945 г. и подыскал для них модель авторегрессии, использующую запаздывания на 1 и 22, т. е. на 6 месяцев и 11 лет. Было проведено и много других статистических иссле дований.

Рядами Вольфа и Уиттла занималась также Шерф (1954). Она подобрала модель авторегрессии с запаздываниями на 1, 2 и 9.

В качестве другого примера рассмотрим ряд Бевериджа индексов цен на пшеницу с выделенным трендом, затабулированный в приложении А. 1 вместе с его корреляциями. Оценки коэффициентов процесса авторегрессии порядка даны в табл. 5.5 для . В предпоследнем столбце этой таблицы приведены значения статистики которые могут быть использованы для проверки нулевой гипотезы против альтернативы в

предположении, что порядок процесса не выше Следует отметить» что при любом разумном уровне значимости нулевая гипотеза отвергается, в то время как нулевые гипотезы для принимаются. Нулевая гипотеза отвергается для с уровнем значимости 2,5% и принимается для с уровнем значимости Если полагать, что порядок не может быть больше для или 8, и использовать предложенную ранее процедуру со многими решениями, то решение о том, что порядок равен принималось бы при уровне значимости, не меньшем 0.025. С другой стороны, если использовать процедуру со многими решениями, состоящую в поочередной проверке гипотез для до тех пор, пока какая-то из этих гипотез не будет принята и будет решено, что порядок равен порядку, соответствующему последней отклоненной гипотезе, то можно было бы прийти к заключению, что процесс имеет порядок 2 [как это было у Саргана (1953)]. Однако, судя по табл. 5.5, для порядка рассматриваемого процесса может оказаться наиболее подходящим и значение, большее 8.