6.8.2. Аппроксимация распределений сериальных корреляций, основанных на последовательных разностях

Точное распределение коэффициента основанного на последовательных разностях, было выписано в явном виде Хартом и фон Нейманом (1942) для . Для значений были численными методами найдены необходимые интегралы и получены

соответствующие таблицы. Для плотность распределения аппроксимировалась несколькими членами ряда

Последний был выбран по той причине, что коэффициент имеет симметричное распределение, принимает значения в интервале и его плотность в точках имеет порядок убывания . Из этого ряда были взяты первые четыре члена . При этом коэффициенты выбирались таким образом, чтобы с точными моментами совпали первые три четных момента аппроксимирующего распределения. Для получается хорошее согласие с точным распределением. На множестве значений функции распределения от 0.00678 до 0.07020 ошибка не превосходит 1.7%. Восьмые моменты точного и аппроксимирующего распределений равны соответственно 0.00413 и 0.00412, а десятые моменты — 0.00202 и 0.00201. Процентные точки приведены в табл. 6.3.

Рассмотрим аппроксимацию плотности симметричным бета-распределением с При этом для

Если приблизить величиной величиной и последнюю — величиной то получим

рассмотрел подбор симметричного бета-распределения по второму и четвертому моментам . В этом случае

Следует отметить, что соответствует здесь Таблицы, насчитанные Янгом (с использованием для определения выражения для -процентных точек, согласуются в пределах трех знаков после запятой со значениями, приведенными в табл. 6.3 (за исключением одного) для Следующее правило

(см. скан)

аппроксимации вытекает из того, что вместо можно рассматривать пирсоновский коэффициент корреляции построенный по наблюдениям. Тогда, чтобы получить -процентную точку для достаточно умножить -процентную точку для на При значения, получаемые с помощью этого правила, отличаются от значений, указанных в табл. 6.3 для уровней 0.05 и 0.1, лишь в третьем десятичном знаке. Замена на приводит к еще меньшему различию.

Еще одна аппроксимация состоит в том, что полагают и

Отсюда вытекает, что вместо можно рассматривать пирсоновский коэффициент корреляции соответствующий наблюдениям. О степени приближения можно в какой-то мере судить по табл. 6.4.

Таблица 6.4 (см. скан) ПРИБЛИЖЕНИЯ 100е-ПРОЦЕНТНЫХ ТОЧЕК РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СЕРИАЛЬНОГО КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ, ОСНОВАННОГО НА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ РАЗНОСТЯХ

Указанный сериальный коэффициент корреляции также распределен асимптотически нормально. Следует отметить, что об использовании здесь можно сказать то же, что и об использовании в циклическом случае.

Колонки табл. 6.4, обозначенные «Харт», взяты из табл. 6.3. Значения в колонке, помеченной буквой подсчитаны заменой пирсоновским коэффициентом корреляции с Числа в колонке, обозначенной получены умножением соответствующих им чисел в соседней колонке (неокругленных) на

В качестве примера рассмотрим данные табл. 6.5, представляющие собой отношения общего числа голосов, поданных за

кандидатов от республиканской партии, к общему числу голосов, поданных за кандидатов от демократической партии, на выборах в палату представителей в 1920-1954 гг.

Таблица 6.5 (см. скан) Отношение общего числа голосов, поданных за республиканцев, к общему числу голосов, поданных за демократов, на выборах в палату представителей в 1920-1954 гг.

Соответствующие статистики равны здесь

Наблюдаемое значение значимо отличается от 0, с уровнем значимости 0.01.