6.3. РАВНОМЕРНО НАИБОЛЕЕ МОЩНЫЕ КРИТЕРИИ ДЛЯ ПРОВЕРКИ ЗАДАННОГО ПОРЯДКА ЗАВИСИМОСТИ

6.3.1. Критерии, равномерно наиболее мощные против альтернатив о положительной зависимости

Исходной моделью для наблюдений будет модель с многомерной нормальной плотностью (9) из § 6.2. В настоящем параграфе мы будем интересоваться проверкой гипотезы о значении в предположении, что . В этом случае указанная плотность равна

где

а квадратичная форма положительно определена. Нулевая гипотеза состоит в том, что порядок зависимости меньше (в предположении, что он не больше Если то нулевая гипотеза есть просто гипотеза независимости (когда матрица диагональна, например когда ). В этом разделе мы займемся проверкой гипотезы о том, что имеет заданное значение, против односторонней альтернативы. В случае когда и выбрана нулевая гипотеза естественной является альтернатива которая соответствует положительной теоретической корреляции между последовательными наблюдениями. Если же то альтернатива к нулевой гипотезе уже не обязательно будет иметь вид поскольку представляет частную корреляцию между при заданных корреляциях низшего порядка. Поскольку критерии, оптимальные против альтернатив строятся подобно критериям, оптимальным против альтернатив мы ограничимся рассмотрением только альтернатив, соответствующих положительной зависимости

Для экспоненциальных семейств плотностей, таких, как (1), задачи статистических выводов относительно просты. Наиболее существенным является здесь тот факт, что минимальное достаточное множество статистик имеет в этом случае размерность, совпадающую с размерностью множества параметров.

Теорема 6.3.1. Если имеют плотность совместного распределения (1), то образуют достаточное множество статистик для параметров

Экспоненциальное семейство имеет классическую форму Купмена-Дармуа. Последняя, очевидно, удовлетворяет критерию факторизации., состоящему в том, что соответствующая плотность может быть представлена в виде произведения неотрицательной (измеримой) функции от параметров и достаточных статистик и неотрицательной (измеримой) функции от наблюдений, не зависящей от параметров. [См., например, Леман (1959, стр. 75) или Кендалл и Стьюарт (1961, стр. 41).] В рассматриваемом случае в качестве первой функции можно взять самоё плотность, а в качестве второй использовать единицу. Из этой теоремы вытекает, что интересующие нас выводы могут быть сделаны на основании значений статистик Например, для любого критерия, использующего все наблюдения можно так подобрать критерий (быть может, рандомизированный), использующий только достаточные статистики что уровни значимости и функции мощности обоих критериев будут одинаковыми.

Теорема 6.3.2. Семейство распределений случайных величин в значениях параметров у таких, что квадратичная форма положительно определена, является полным.

Свойство полноты также является общим свойством экспоненциальных семейств. [См., например, Леман (1959, стр. 183) или Кендалл и Стьюарт (1961, стр. Доказательство вынесено в упр. 7.

Из теоремы 6.3.2 следует, что критерий для проверки нулевой гипотезы о том, что равно заданному значению, например имеющий заданный уровень значимости и определяемый подобной областью, обладает неймановской структурой. Иными словами, если множество в пространстве случайных величин такое, что

то

для почти всех возможных значений [См. Леман (1959, разд. 4.3) или Кендалл и Стьюарт (1961, п. 23.19).] Доказательство вынесено в упр. 9. Отметим, что, поскольку статистики достаточны для вероятность не зависит от значений

Пусть условная плотность распределения величин при заданных значениях Эта плотность будет интересовать нас на множестве всех возможных значений (которое

характеризуется положительной маргинальной плотностью распределения величин Пусть плотность для при . Она выражается формулой

которая получается из соотношения для плотности величин преобразованием в величины и в величин и последующим интегрированием этих величин по области, определяемой значениями Выполнение этих операций одновременно определяет функцию в (5). При этом будет множеством значений для которых Маргинальная плотность величин будет равна

где

(Заметим, что для всех Таким образом, условная плотность для при заданных значениях статистик из имеет вид

Условная плотность распределения величины при заданных значениях представляет собой экспоненциальное семейство с параметром Действительно, для фиксированных значений функция будет зависеть только от а функция будет функцией от выполняя роль нормирующего множителя. Следует заметить, что условная плотность может быть записана только для из

Поскольку критерий для проверки гипотезы имеет неймановскую структуру, мы можем применить фундаментальную лемму Неймана — Пирсона (упр. 10) к условному распределению величины Наилучцшм для проверки гипотезы против альтернативы оказывается критерий, имеющий

критическую область

Константа зависящая от значений определяется так, чтобы условная вероятность события (8) при равнялась желаемому уровню значимости. Если то критическую область (9) можно записать в виде

В частности, такой вид будет иметь критерий для проверки гипотезы против альтернативы

Теорема 6.3.3. Наилучший подобный критерий для проверки нулевой гипотезы против альтернативы уровнем значимости имеет критическую область (10), где константа определяется так, чтобы при вероятность события (10), соответствующая плотности (8), была равна

Поскольку определяется из условной плотности (8) при то она не зависит от значения и поэтому ее можно записать в виде Таким образом, критическая область (10) не зависит от Поэтому она определяет критерий, являющийся наилучшим против любой альтернативы

Теорема 6.3.4. Равномерно наиболее мощный подобный критерий для проверки нулевой гипотезы против альтернатив с Уровнем значимости имеет критическую область

Константа определяется так, чтобы при вероятность события (11), вычисленная в соответствии с плотностью (8), равнялась

Нас будет особенно интересовать случай . В этом случае условная плотность при нулевой гипотезе равна

Следствие 6.3.1. Равномерно наиболее мощный подобный критерий для проверки нулевой гипотезы против альтернатив с уровнем значимости имеет критическую область

Константа определяется так, чтобы интеграл от плотности (12) по множеству равея

Когда мы перейдем к рассмотрению конкретных моделей, то увидим, что обычно критическая область (13) имеет вид

где сериальные коэффициенты корреляции. В частности, при критерий для проверки гипотезы независимости против альтернатив о положительной зависимости имеет критическую область