6.7.6. Другие распределения сериальных коэффициентов корреляции

В случае сериального коэффициента корреляции, использующего сумму квадратов последовательных разностей остатков от среднего значения, именно

характеристические корни равны причем все различны. Положим

где — произвольные веса, удовлетворяющие условию Нейман (1941) показал, что если плотность распределения то

для таких для которых указанные неравенства допустимы. (Например, если то неравенство невозможно.) В частности, в интервале плотность будет полиномом степени не более

(В случае если все корни двойные и притом различные, этот результат согласуется с результатами разд. 6.7.4.)

Нейманом было показано, что если все веса различны, то производные непрерывны на отрезке (даже в точках ). В принципе соотношение (81) можно проинтегрировать и получить плотность Постоянные интегрирования определяются тем фактом, что производные порядка, меньшего чем в смежных интервалах имеют совпадающие значения в общих концевых точках этих интервалов (и равны 0 при интервалах знаменатель выражения для производной от плотности представляет собой квадратный корень из полинома от степени Если то эта плотность равна

а соответствующая ей функция распределения имеет вид

и для Если то в выражении для плотности появляются эллиптические, гиперэллиптические и другие более сложные интегралы.

Если нечетное, то соответствующее распределение можно получить с помощью следствия 6.7.4 из распределения для четного

В случае сериального коэффициента корреляции (79) имеем Распределение величины симметрично ввиду того, что Все корни образуют пары (положительное и отрицательное значения), если только не является четным и Возможные значения коэффициента заполняют интервал