8.4.3. Тригонометрические коэффициенты

Тригонометрические коэффициенты

являются линейными функциями от со средними: значениями 0 и дисперсиями и ковариациями, указанными в разд. 8.2.3. Если гауссовский процесс, то любое множество этих тригонометрических коэффициентов распределено нормально. (Если число этих коэффициентов больше то распределение вырождено.) В этом разделе мы покажем, что при точно установленных общих условиях и асимптотически нормально распределены со средними значениями 0, нулевыми ковариациями и дисперсиями, данными в разд. 8.3.3.

Теорема 8.4.3. Если где состоит из независимо распределенных случайных величин, причем имеет среднее значение 0, дисперсию и функцию распределения

при имеют нормальное предельное распределение со средними значениями 0, нулевыми ковариациями и дисперсиями, соответственно равными

Доказательство. Предположим, что Пусть

Предельное распределение величины при это то же самое, что и предел при предельного распределения величины при для

где суммирование проводится для значений между 1 и Т. Перестановка суммирования по и математического? ожидания оправдывается тем фактом, что

все члены суммы в правой части неотрицательны и Тогда

что стремится к 0 при Мы применим следствие 7.7.1.

Запишем

Сумма квадратов коэффициентов величин умноженная на сходится к 0, когда возрастает. Таким образом, предельное распределение величин есть предельное распределение произведения величин

где

Тогда из центральной предельной теоремы Линдеберга (теорема 7.7.2) следует, что имеет нормальное предельное распределение (согласно доказательству теоремы 2.6.1), а другой сомножитель сходится к постоянной. Затем применим следствие 7.7.1,

чтобы показать, что имеет нормальное предельное распределение. Теорема следует из рассмотрения произвольной линейной комбинации

так как характеристическая функция предельного распределения переменных определяется характеристическими функциями всех линейных комбинаций (теорема 7.7.7).

Следствие 8.4.2. Если состоит из независимо распределенных величин, причем имеет среднее значение 0, дисперсию и функцию распределения если (23) выполняется при с то имеет нормальное предельное распределение со средними значениями 0, нулевыми ковариациями и дисперсиями, соответственно равными

Доказательство. Следствие вытекает из теоремы, так как

а выражения в фигурных скобках стремятся к 0 при

Теорема и следствие могут быть доказаны при замене (23) на предположение о том, что для некоторого По поводу более слабых условий см. Олшен (1967).

Иногда нас будут интересовать выражения Так как по вероятности и то предельное распределение множества то же самое, что и для за исключением тех случаев, когда заменено на для каждого Аналогично

предельное распределение величин есть не что иное, как предельное распределение с заменой для каждого