8.3. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ И КОВАРИАЦИИ ВЫБОРОЧНЫХ СРЕДНЕГО, КОВАРИАЦИЙ И СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ

8.3.1. Выборочное среднее

Выборочное среднее есть несмещенная оценка величины для процесса, стационарного в широком смысле, т. е. Дисперсия величины у была приведена в разд. 8.2.2 в виде линейной комбинации величин и в виде взвешенного интеграла функции Имеем

Теорема 8.3.1. Если

то

Если непрерывна при то

Доказательство этой теоремы, использующее сумму в формуле (1), представляет собой частный случай утверждения, что суммирование по Чезаро сходящегося ряда не меняет его значения. Это эквивалентно следующей лемме.

Лемма 8.3.1. Если сходится, то

Доказательство леммы. Из сходимости следует, что для любого положительного существует число такое, что для каждого

Из сходимости следует также, что существует число такое, что

Тогда для

Для и формула (8) меньше Это и доказывает лемму.

Заметим, что абсолютная сходимость (2) не является необходимой для (3).

Второе соотношение для предельной дисперсии следует из первого, если ряд Фурье для сходится к при Тем не менее мы выведем этот результат непосредственно из интегрального представления в (1), так как такие методы доказательства будут полезны в дальнейшем. Взвешенный интеграл содержит ядро Фейера

Интеграл от по равен

В частности,

Поскольку то

и отсюда

Более того, так как возрастает на то сходимость равномерна на любом отрезке для т. е.

Таким образом,

при Итак, доказана Лемма 8.3.2.

Одно из утверждений теоремы 8.3.1 вытекает из следующей леммы (формулировка которой дается в достаточно общем виде для того, чтобы ее можно было использовать и в других случаях).

Лемма 8.3.3. Пусть выполняются следующие условия: функция непрерывна при для не которого

существуют число К и целое число такие, что

и для некоторого

для каждого монотонно невозр тающая функция от а для при Тогда

Доказательство. Предположим, что Для заданного существует , такое, что при Из (18) и (20) получаем по аналогии с доказательством леммы 8.3.2

Тогда

Для имеем

а последнее стремится к 0 при Доказательства для случаев проводятся аналогично. Заметим, что из (18) следует (19) для если

Доказательство формулы (4) представляет собой частный чай леммы 8.3.3, когда

Оба условия теоремы и непрерывность при вытекают из предположения