9.4. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ НОРМАЛЬНОСТЬ ОЦЕНОК СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ

При определенных условиях оценки спектральной плотности, изучавшиеся в § 9.3, оказываются асимптотически нормальными.

Мы покажем, что величина имеет в пределе нормальное распределение. Положим

где последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин, у которых Найдем предельное распределение разности где

Разность между равна

(кликните для просмотра скана)

Из этого выражения видно, что дисперсия слагаемого ограничена сверху величиной

которая не зависит от и стремится к нулю при Подобным же образом,

Этой величиной ограничена сверху и дисперсия слагаемого Используя полученные соотношения, неравенство

и следствие 7.7.1, получаем, что предельное распределение разности является пределом по предельных распределений разностей

Что касается От то эта величина является действительной частью суммы

(см. скан)

В то же время, математическое ожидание квадрата разности между действительными частями (15) и

стремится к 0 при Действительно, для фиксированных разность между суммируемыми величинами в (15) и (16) состоит из всех тех членов сумм по и по которые входят в одно выражение и не входят в другсе. Число таких членов не превосходит где вполне определенные константы (см. упр. 27 и 28), сами они некоррелированы (см. упр. 29), а математические ожидания квадратов их действительных частей не превосходят

Отсюда следует, что математическое ожидание квадрата соответствующей разности для каждых стремится к нулю при

Если функция непрерывна на то величина для достаточно больших будет сколь угодно близка к значению Поэтому разность действительных частей (16) и

где также имеет сколь угодно малое среднеквадратичное отклонение. В свою очередь при стремится к нулю и среднеквадратичное отклонение разности действительных частей (18) и

где

Процесс является стационарным процессом с конечной зависимостью. Более того,

В силу этого дисперсия выражения (19) равна умноженной на величине (22). Последняя же при имеет предел

а при или предел, равный удвоенному значению (24).

Пусть еще одна последовательность целых чисел, причем при (Такой, например, является последовательность Пусть наибольшее целое в ряду Положим

Тогда - независимые одинаково распределенные случайные величины с равным умноженному на выражению (22). Более того, четвертый момент

оказывается равномерно ограниченным. Действительно, хотя квадратично зависит от переменных тем не менее все четвертые моменты величин ограничены, так как они включают в себя моменты случайных величин лишь до четвертого порядка. Это связано с тем, что в каждом произведения переменных имеют различные индексы и что случайные величины независимы. Поскольку если наименьший из индексов отличен от трех остальных, то в (26) имеет смысл рассматривать только слагаемые вида При этом количество слагаемых вида равно количество слагаемых вида самое большее ; количество слагаемых вида не больше Что касается слагаемых вида то они равны нулю, если Поэтому число ненулевых: слагаемых такого вида не превосходит Возникающий здесь бесконечно возрастающий множитель

компенсируется тем, что Слагаемые остальных типов равномерно ограничены по (см. упр. 31). Таким образом, четвертый момент оказывается равномерно ограниченным по Т. Применяя центральную предельную теорему Ляпунова, получаем, что нормированная сумма

имеет в пределе нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией, равной (24) при и в два раза превышающей (24) при (Для этого достаточно в теореме 7.7.3 взять качестве отношение и положить Поскольку же среднеквадратичное отклонение разности

стремится к нулю при то такое же предельное распределение будет иметь и

Теорема 9.4.1. Пусть

где функция непрерывна на целочисленная последовательность, такая, что при Пусть

где последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с Тогда имеет в пределе нормальное распределение с дисперсией, указанной в теореме 9.3.4.

Асимптотически нормальным является и совместное распределение оценок для любого фиксированного числа значений

Условия теоремы 9.4.1 можно заменить другими, в которых будет отсутствовать требование Так, например, Чон и

Хеннан (1968) доказали асимптотическую нормальность в предположении, что сходится по вероятности к нулю и другие условия нормальности указаны Розенблаттом (1959).

Рассмотрим теперь нормированное отклонение

Пусть величины, определенные в теореме 9.3.3. Если при или 0 при то второе слагаемое в правой части (31) стремится к нулю, если только предел конечен. Если же при или при то оно будет стремиться к нулю, если Как бы то ни было, в обоих этих случаях предельное распределение левой части (31) совпадает с предельным распределением первого члена правой части (31).

Следствие 9.4.1. Если выполнены условия теорем 9.4.1 и 9.3.3 и если предел конечен при или при то имеет в пределе нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией, указанной в теореме 9.3.4.

Отметим, что для того, чтобы смещение было пренебрежимо малым по сравнению со случайной частью (31), последовательность должна возрастать, быстрее, нежели в том случае, когда дисперсия и квадрат смещения имеют один и тот же порядок. Как и ранее, при указанных условиях оценки имеют асимптотически нормальное совместное распределение для любого фиксированного числа значений

Если обозначить то, перефразируя следствие 9.4.1, получим, что для

имеет стандартное нормальное распределение с нулевым средним и единичной дисперсией. Пусть число таково, что вероятность попадания стандартной нормальной случайной величины на отрезок равна Тогда событие, состоящее в том, что (32) попадает на этот отрезок, можно записать в виде

Последнее соотношение определяет для доверительный интервал с уровнем доверия, приблизительно равным для больших: (в условиях следствия 9.4.1).

Мы можем воспользоваться также следующим утверждением Если где имеет при предельное нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией имеет производную в точке то имеет в пределе нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией Если то при

Теорема 9.4.2. В условиях следствия 9.4.1 величина

при имеет предельное нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией, равной при и равной при

Сформулированный результат приводит к доверительным интервалам

или

Из теоремы 9.4.2 можно заключить, что информативным графическим представлением оценки спектральной плотности является представление в виде зависимости от ее логарифма

поскольку в этом случае асимптотическое стандартное отклонение является константой и притом известной, именно

Блэкмен и Тьюки (1959, стр. 22) предложили аппроксимировать распределение оценки являющейся квадратичной формой от наблюдений, распределением случайной величины где случайная величина, имеющая -распределение с а степенями свободы, а выбираются так, чтобы первые два момента величины были равны соответствующим приближенным моментам для Таким образом, при возникают условия

Тогда

и для в качестве случайной величины, имеющей -распределение с числом степеней свободы а, указанным в (39), следует взять

Если среднее значение неизвестно, то оценки для можно построить с использованием или Положим

Пусть Тогда

Второе слагаемое в правой части (42) не превосходит по модулю

Из теоремы 8.3.2 следует, что если для всех Поэтому (43) не превосходит

Последняя же величина стремится к 0, если только

при

Теорема 9.4.3. Пусть определяется соотношением (41), причем для некоторого и всех кдля некоторых Пусть целочисленная последовательность, такая, что при Тогда, если

Если же (45) выполняется для при то

Ковариадии оценок удовлетворяют соотношению

(кликните для просмотра скана)

(см. скан)

По абсолютной величине (53) не превосходит удвоенного значения Таким образом, для правая часть (49) не превосходит

Теорема 9.4.4. Теорема 9.3.4 справедлива для оценки определяемой соотношением (41). Рассмотрим далее

для Математическое ожидание квадрата (55) равно

Теорема 9.4.5. В предположениях теоремы 9.4.1 вектор имеет предельное нормальное распределение с нулевым средним и с дисперсиями и ковариациями, указанными в теореме 9.3.4.

В разд. 7.5.1 было показано, что спектральная плотность процесса определяемого соотношением

равна

Для некоторых целей оказывается полезным с помощью применения соотношения (57) к наблюдаемому ряду получать новый ряд и оценивать спектральную плотность этого нового ряда, а затем в качестве оценки использовать Такая конструкция скользящего среднего называется предбеливанием. Цель ее состоит в том, чтобы получить процессе достаточно гладкой спектральной плотностью а это можно сделать, если иметь некоторую предварительную информацию о пиках и впадинах

Для оценки спектральной функции [равной в точках непрерывности ] можно использовать

где

Нормированную спектральную плотность можно оценивать посредством

пли посредством При этом предельное распределение

совпадает с предельным распределением

Если к тому же сходится по вероятности к нулю, то предельное распределение (62) совпадает с предельным распределением