Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
9.4. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ НОРМАЛЬНОСТЬ ОЦЕНОК СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИПри определенных условиях оценки спектральной плотности, изучавшиеся в § 9.3, оказываются асимптотически нормальными. Мы покажем, что величина
где
Разность между
(кликните для просмотра скана)
Из этого выражения видно, что дисперсия слагаемого
которая не зависит от
Этой величиной ограничена сверху и дисперсия слагаемого
и следствие 7.7.1, получаем, что предельное распределение разности Что касается От то эта величина является действительной частью суммы (см. скан) В то же время, математическое ожидание квадрата разности между действительными частями (15) и
стремится к 0 при
Отсюда следует, что математическое ожидание квадрата соответствующей разности для каждых Если функция
где
где
Процесс
В силу этого дисперсия выражения (19) равна умноженной на
а при Пусть
Тогда
оказывается равномерно ограниченным. Действительно, хотя
имеет в пределе нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией, равной (24) при
стремится к нулю при Теорема 9.4.1. Пусть
где
где Асимптотически нормальным является и совместное распределение оценок Условия теоремы 9.4.1 можно заменить другими, в которых будет отсутствовать требование Хеннан (1968) доказали асимптотическую нормальность в предположении, что Рассмотрим теперь нормированное отклонение
Пусть Следствие 9.4.1. Если выполнены условия теорем 9.4.1 и 9.3.3 и если предел Отметим, что для того, чтобы смещение было пренебрежимо малым по сравнению со случайной частью (31), последовательность Если обозначить
имеет стандартное нормальное распределение с нулевым средним и единичной дисперсией. Пусть число
Последнее соотношение определяет для Мы можем воспользоваться также следующим утверждением Если Теорема 9.4.2. В условиях следствия 9.4.1 величина
при Сформулированный результат приводит к доверительным интервалам
или
Из теоремы 9.4.2 можно заключить, что информативным графическим представлением оценки спектральной плотности является представление в виде зависимости от поскольку в этом случае Блэкмен и Тьюки (1959, стр. 22) предложили аппроксимировать распределение оценки
Тогда
и для
Если среднее значение
Пусть
Второе слагаемое в правой части (42) не превосходит по модулю
Из теоремы 8.3.2 следует, что если
Последняя же величина стремится к 0, если только
при Теорема 9.4.3. Пусть
Если же (45) выполняется для
Ковариадии оценок
(кликните для просмотра скана) (см. скан) По абсолютной величине (53) не превосходит удвоенного значения
Теорема 9.4.4. Теорема 9.3.4 справедлива для оценки
для
Теорема 9.4.5. В предположениях теоремы 9.4.1 вектор В разд. 7.5.1 было показано, что спектральная плотность процесса
равна
Для некоторых целей оказывается полезным с помощью применения соотношения (57) к наблюдаемому ряду Для оценки спектральной функции
где Нормированную спектральную плотность можно оценивать посредством
пли посредством
совпадает с предельным распределением
Если к тому же
|
1 |
Оглавление
|