Глава 7. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

7.1. ВВЕДЕНИЕ

В статистическом анализе последовательность наблюдений, образующих временной ряд, часто рассматривают как выборку последовательных наблюдений через равные промежутки времени из существенно более продолжительной (генеральной) последовательности случайных величин. При этом статистические выводы делаются относительно вероятностной структуры генеральной последовательности. Такую последовательность удобно считать простирающейся неограниченно в будущее и, возможно, в прошлое. Последовательность случайных величин или называется случайным процессом с дискретным параметром времени.

Несмотря на полную произвольность вероятностных моделей последовательностей случайных величин, полезно отличать случайные процессы от множества случайных величин этого процесса, учитывая понятие времени. Грубо говоря, в случайном процессе наблюдения, разделенные небольшими промежутками времени, близки по значениям в отличие от наблюдений, далеко отстоящих друг от друга по времени. Более того, модель значительно упрощается после расширения конечной последовательности наблюдений до бесконечной.

Одним из таких упрощений является свойство стационарности. Будем считать, что поведение множества случайных величин с вероятностной точки зрения не зависит от времени. Это свойство обсуждалось выше при рассмотрении процессов скользящего среднего или процессов, порождаемых стохастическими разностными уравнениями.

В гл. 5 нас интересовали процессы, описываемые конечным числом параметров. Теперь мы будем рассматривать процессы, в

которых число параметров может быть бесконечным. Например, гауссовский (нормальный) стационарный процесс имеет конкретные среднее значение и дисперсию, но бесконечное число коэффициентов ковариации. Поставим вопрос: какую информацию о них можна получить исходя из конечного числа наблюдений?

Случайный процесс, как бесконечная последовательность случайных величин, связан с понятием вероятностной меры, определенной в бесконечномерном пространстве. Некоторые интересные вопросы, в частности о пределах функций последовательностей, касаются вероятностей множеств в бесконечномерном пространстве. Но, поскольку мы интересуемся выводами из конечного (хотя, возможно, большого) числа наблюдений, вероятности таких множеств не понадобятся. В этой главе математическая теория случайных процессов обсуждается лишь на уровне идей, поскольку детальное ее изучение на этом этапе не требуется.

Случайный процесс с непрерывным параметром времен» можно определить для или — и рассматривать с привлечением вероятностной меры на пространстве функций Выборка из такого процесса состоит из наблюдений в конечном числе точек времени, или из непрерывных наблюдений в интервале времени. Пусть, например, процесс представляет собой теоретическую модель наблюдений температуры в некоторой местности. Тогда последовательность ежечасных отсчетов или диаграмма непрерывных показаний является выборкой из случайного процесса. Случайный процесс с дискретным временем часто понимают как выборку через равные промежутки времени из случайного процесса с непрерывным временем.