4.2.5. Представление произвольной функции

Обратимся теперь к представлению на всей действительной оси функции с действительными значениями. Частным случаем, хорошо известным статистикам, является связь плотности вероятностей с ее характеристической функцией определяемой соотношением

в котором действительные функции. Из этого определения видно, что четная, а нечетная функции. Обратное преобразование имеет вид

Кратко сформулируем результаты этого параграфа. Произвольную конечную последовательность с помощью ортогональной матрицы можно преобразовать в конечное множество коэффициентов Фурье. Произвольную периодическую функцию можно

представить конечным отрезком ряда Фурье, коэффициенты которого (при определенных условиях) являются тригонометрическими интегралами. Обратно: (при определенных условиях) ряд Фурье определяет некоторую периодическую функцию. Наконец, произвольную (непериодическую, интегрируемую) функцию можно выразить в виде интеграла Фурье. При этом подынтегральное выражение может быть получено как обратный интеграл Фурье.