3.2. ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ТРЕНДЫ

3.2.1. Ортогональные полиномы

Встречающиеся во многих исследованиях временные ряды наряду с флуктуациями и нерегулярностями имеют некоторую общую тенденцию изменения. Например, многие временные ряды в экономике являются, в первом приближении, возрастающими. Такого рода общую тенденцию мы будем называть трендом. Во многих случаях желательно сделать выводы о тренде на основании самого наблюдаемого временного ряда, хотя при этом может быть известно, что тренд возникает в силу действия каких-то иных факторов. Так, рост временного ряда в экономике может быть обусловлен ростом численности населения. В ряде случаев, когда теория не может указать явный вид тренда как функции времени, тем не менее бывает возможно приблизить тренд полиномом от достаточно низкой степени. В простейшем нетривиальном случае равномерного возрастания или убывания значений ряда адекватное представление тренда может дать полином первой степени, т. е. линейная функция.

Полиномиальный тренд есть в первую очередь средство описания. Он содержит в сжатой форме общие характеристики ряда. Для использования тренда в этом качестве полином должен иметь достаточно низкую степень. Во многих случаях коэффициентам полинома

нельзя придать никакого реального смысла. Такой полином служит заменой гораздо более сложной (но неизвестной) функции времени. Подобранный полином обычно может быть использован для интерполяции, однако использовать его для экстраполяции следует с осторожностью, поскольку вопрос о качестве приближения рассматриваемого тренда данным полиномом не может быть решен исходя лишь из наблюденных значений.

В некоторых случаях первостепенный интерес представляют короткие по времени периоды, флуктуации и нерегулярности. В таких случаях тренд желательно выделить, с тем чтобы получить базу, от которой можно было бы измерять быстрые изменения наблюдаемого ряда.

Наша основная модель ошибок состоит в том, что наблюдаемая величина представлена в виде суммы временного тренда и (ненаблюдаемой) ошибки т. е. где все некоррелированы, имеют средние значения и дисперсии . В этом параграфе мы предполагаем, что тренд является полиномом степени

Полином первой степени отражает равномерное во времени возрастание или убывание значений ряда. Полином второй степени может выражать тенденцию возрастания и последующего убывания значений ряда или наоборот, и т. д. Обычно будет мало по сравнению с . В данной модели может быть использована обычная техника регрессионного анализа.

Как отмечалось в гл. 2, мы можем перейти от независимых переменных, в данном случае к ортогональным независимым переменным Поскольку полиномы будут использоваться очень часто, имеет смысл ортогонализировать их заранее; тогда все последующие вычисления упрощаются. Степени переменной натуральные числа. Почти во всех случаях в регрессионной формуле вместе с некоторой степенью переменной присутствуют и все более низкие ее степени.

Пусть ортогональный полином степени записан в виде

и . Поскольку по предположению ортогонален или, что эквивалентно, ортогонален 1, мы должны иметь

Эти уравнения представляют собой частный случай уравнений (16) § 2.3 (с очевидными изменениями в обозначениях). При коэффициенты определяются однозначным образом из системы (4). Например,

Мы определили ортогональные полиномы таким образом, что их главные члены есть просто высшие степени переменной Без потери свойства ортогональности

каждый можно умножать на константу. Множество в целом задает невырожденное линейное преобразование переменных (максимального числа линейно независимых полиномов для

С использованием ортогональных полиномов тренд (1) записывается следующим образом:

При этом

Оценками коэффициентов в представлении (7) по наблюдениям являются величины

Несмещенной оценкой дисперсии служит

Вычисления по формулам (9) и (10) обычно выполняются на клавишной вычислительной машине с помощью таблиц ортогональных полиномов. У Фишера и Иэйтса (1963) последние даны (табл. 23) для степеней до пяти включительно и для , а у Андерсона и Хаузмана (1942) до значения Для данного значения (обозначаемого у Фишера и Иэйтса через табулированы величины

где наименьшее рациональное число, для которого величины целые числа. (Следует заметить, что коэффициенты в выражении (4) — целые, а следовательно, и рациональные числа.) Для примера рассмотрим Если нечетное, то целое и если же четное, то равно целому плюс . В конце каждой колонки таблиц даны значения

Цель использования полиномов с целочисленными коэффициентами состоит в том, чтобы не вносить ошибок округления при вычислениях в (9), вплоть до выполнения деления. Вычисления табулированными величинами дают значения т. е. оценки отношений (являющихся коэффициентами при Числовые примеры приведены в конце этого параграфа.

В случае применения быстродействующих вычислительных машин пользоваться указанными таблицами нет необходимости. Как отмечалось в гл. 2, подбираемая регрессия будет одной и той же и для степеней переменной и для ортогональных полиномов той же степени, причем одинаковыми будут и коэффициенты при высшей степени. Всякий метод накопления ведущих элементов дает и коэффициенты при ортогональных полиномах и коэффициенты при степенях переменной Коэффициенты ортогональных полиномов (нормированные делением на корни квадратные из сумм квадратов ортогональных полиномов) легко интерпретировать как показатели вклада, вносимого в регрессию соответствующей степенью, без учета вклада, вносимого в регрессию членами более цизкого порядка.