7.3. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ

Стационарный в широком смысле случайный процесс с дискретным временем определяет последовательность ковариаций Преобразование Фурье этой последовательности есть

Особый интерес представляет тот случай, когда этот ряд сходится. Если

то (1) сходится равномерно. Умножая и интегрируя, получаем

(О рядах Фурье см. разд. 4.2.4.) Таким образом, ковариационная последовательность определяет функцию и обратно. Функция (если она существует) называется спектральной плотностью. Заметим, что четная функция, т. е. Иногда удобно ввести функцию т. е.

Иногда также называют спектральной плотностью. Тогда

Определим спектральную функцию (если определена) следующим образом:

Пусть (2) имеет место; интегрируя (1) почленно, получаем

Отсюда (3) может быть представлено в виде

Покажем, что для любой ковариационной последовательности существует функция такая, что верна формула (8), и функция монотонно не убывает. Последнее свойство соответствует тому, что (в случае когда абсолютно непрерывна).

Определим периодограммы по выборочным значениям, как в разд. 4.4.1:

где

Здесь суть последовательных случайных величин стационарного в широком смысле процесса, имеющего среднее нулевое значение. Пусть

Тогда

так как есть число пар таких, что Так как то

и

Отсюда получаем, что функция

монотонно не убывает, Из теоремы о слабой компактности [Лоэв (1963, § 11.2)] вытекает, что существует последовательность переменных такая, что подпоследовательность сходится. Предельная функция монотонно не убывает, и, кроме того, и Подпоследовательность сходится в каждой точке непрерывности функции и (8) можно рассматривать как предел подпоследовательности (15) Лемма Хелли — Брея, Лоэв (1963, § 11.3)]. Равенство (7) выполняется в каждой точке непрерывности Удобно определить как непрерывную справа функцию, исключая

Теорема 7.3.1. Для любой ковариационной последовательности существует однозначно определенная монотонно неубывающая функция с симметричными приращениями, непрерывная справа на интервале такая, что

Положим

и Тогда непрерывна справа, за исключением значения

Полезно рассмотреть спектральные функции для нескольких примеров, приведенных выше в разд. 7.2.2.

Пример 7.1. Пусть независимы с Тогда ковариационной последовательности

соответствует

В самом деле,

Пример 7.2. Пусть с дисперсией Тогда ковариационной последовательности

соответствует

Это следует из соотношения

Пример 7.3. Пусть

где взаимно не коррелированы. Предположим, что упорядочении следующим образом: Функцию определим так, чтобы

Эта формула выполняется в том случае, когда есть ступенчатая функция со скачками в каждой точке или в точке как видно из рис. 7.2. В этом случае мы имеем

Процесс представляется в виде суммы косинусов и синусов, если Веса косинуса и синуса есть пара некоррелированных выборочных значений из совокупности с дисперсией Здесь случайность возникает при введении случайных весовых коэффициентов.

Если нормально распределены, то процесс может быть представлен в виде

где независимые величины, имеющие -распределение с двумя степенями свободы, а величины равномерно

Рис. 7.2. Дискретная спектральная функция распределения.

распределенные на отрезке тоже независимы. Реализация процесса представляет собой сумму косинусов заданных частот. Фаза каждой частоты распределена равномерно, а амплитуды распределены одинаково с точностью до коэффициента пропорциональности

Для любого стационарного случайного процесса можно построить процесс типа (27), спектральное распределение и ковариационные функции которого аппроксимируют те же характеристики исходного процесса посредством выбора (.Аппроксимирующий процесс строится так, чтобы его ступенчатая спектральная функция была близка к функции исходного процесса. Выбирая достаточно большим, можно получить сколь угодно хорошую аппроксимацию. В § 7.4 мы рассмотрим этот вопрос более подробно и покажем, что процесс можно представить в виде суммы двух интегралов.

Аппроксимация случайного процесса суммами или интегралами, подобными (30), позволяет представить процесс как сумму или интеграл косинусов со случайными фазами и амплитудами. Фазы часто не представляют никакого интереса, в то время как изучение амплитудных характеристик важно. Сумма средних значений квадратов амплитуд для заданных в некотором интервале частот представляет собой приращение спектральной функции на данном интервале.

Во многих случаях спектральное представление проще, более естественно и информативно, чем последовательность наблюдений. Это верно для многих природных явлений, таких, как звук, свет, электричество, волновой характер которых выражается суммой тригонометрических функций. Например, чистый звуковой тон

описывается тригонометрической функцией, где частота соответствует высоте, а амплитуда — силе звука; естественный рецептор, ухо, воспринимает высоту и силу звука. Спектр света дает наглядное представление о долях энергии на разных частотах. Такой спектральный подход очень важен в теории связи. В каждом из этих примеров представление тригонометрическими функциями дает основной способ описания наипростейших случаев и позволяет делать обобщения для более сложных ситуаций. Следует заметить, что спектральный анализ использует язык тригонометрических функций. Если бы «естественное» сщисание некоторых периодических явлений давалось на языке других периодических функций (например, пилообразная или ступенчатая функция), то приведенный спектральный анализ не был бы удачным. Функции косинус и синус появляются как решения дифференциальных или разностных уравнений второго порядка. Там, где явление описывается такими уравнениями, предпочтительны тригонометрические функции.

Значимость выборочных периодограммы и спектральной плотности (когда она существует) можно задать по-другому. Вычислим выборочную ковариацию между (без коррекции для среднего значения):

Найдем максимум по 0:

Таким образом, для рассматриваемого временного ряда пропорционально ковариации между наблюдениями временного ряда и максимумом по фазе косинуса частоты Исключая тот случай, когда сумма квадратов зависит от 0, получаем, что пропорционально соответствующей корреляции. Грубо говоря, пропорционально коэффициенту множественной корреляции между . В этом смысле измеряет степень соответствия между наблюдениями временного ряда и тригонометрической функцией частоты (см. разд. 4.3.2); спектральную плотность можно интерпретировать как среднее некоторой совокупности.

Спектральная функция аналогична функции совместного распределения на отрезке за исключением того факта, что может отличаться от 1. Спектральная функция случайного стационарного процесса может быть представлена в виде

суммы

где - неубывающие функции. Функция ступенчатая, абсолютно непрерывна,

сингулярная функция, т. е. непрерывна и может быть возрастающей, хотя почти всюду.

Процесс с непрерывным параметром стационарный в широком смысле, со средним нулевым значением и ковариационной функцией

имеет спектральную функцию которая монотонно не убывает, имеет симметричные приращения и ограничена. Отсюда

Если положить и то (36) можно переписать:

С точностью до постоянного множителя является функцией распределения, а ее характеристической функцией.

Часто последовательность наблюдений является выборкой через равные промежутки времени из процесса с непрерывным параметром, например ежечасные отсчеты температуры или ежедневные отсчеты уровня воды. Таким образом, где интервал времени между наблюдениями. Ковариационная функция процесса с дискретным параметром есть

при подстановке Предположим, что абсолютно непрерывна с плотностью Тогда

есть не что иное, как спектральная плотность процесса Вес частоты в процессе с дискретным параметром представляет собой сумму весов частот процесса с непрерывным временем. Предположим, например, что температура измеряется ежечасно; если единица непрерывного параметра времени есть один час. Период в 4 часа соответствует частоте Для непрерывного процесса получим выборку частот которая соответствует периодам Этот эффект называется подменой частот или свертыванием спектра, а величина называется частотой Найквиста.

Если выполняется (2), то ряд (1) для сходится абсолютно и равномерно, следовательно, непрерывна. Существует много различных условий на чтобы выполнялось т. е. чтобы сумма абсолютных величин коэффициентов Фурье была сходящейся. Достаточным условием этого является

верное для некоторых [Хобсон (1907, разд. 359)].

Так как четные функции, нечетная, то (1) и (3) можно представить в следующем виде:

Нормированная спектральная плотность получается из (1) или (41) подстановкой вместо Интегралы Фурье функции равны в частности, интеграл от функции на есть

Перейдем теперь к спектральной теории случайных величин с комплексными значениями. Пусть где двумерный действительный случайный процесс, стационарный в широком смысле с и

Заметим, что есть последовательность комплексных чисел таких, что где означает комплексное число сопряженное с Если то определяет все ковариации процесса Определим следующим образом:

Тогда

неотрицательно согласно (44) , вообще говоря, не равна . Имеем

Отсюда согласно (16), монотонно не убывает с Аналогичные рассуждения приводят к тому, что предел подпоследовательности монотонно не

убывает, непрерывен справа,

[Для комплексного процесса в формуле (41) нужно заменить на ].

Рассмотрим векторный случайный процесс стационарный в широком смысле, с комплексными компонентами. Пусть

где есть транспонированный вектор компоненты которого соответственно комплексно сопряжены компонентам Отметим, что

Для любого фиксированного вектора с случайная последовательность является комплексным случайным процессом, стационарным в широком смысле с математическим ожиданием и ковариационной последовательностью

где действительная, монотонно неубывающая функция, непрерывная справа, такая, что Для вектора компонента которого равна 1, а остальные 0, имеем

где для таких с записана как Для вектора компоненты которого равны 1, а остальные 0, имеем

Для вектора компонента которого равна равна а остальные — нулю, имеем

Таким образом,

где

Заметим, что вообще говоря, не является действительной функцией. Выражение

можно переписать в виде

Так как (50) определяет функцию однозначно, то

Так как действительна и монотонно не убывает, то

Таким образом, матрица и ее приращения эрмитовы и положительно полуопределены.

Теперь предположим, что процесс действителен. Тогда матрица тоже действительна. Мнимая часть в формуле

должна равняться 0 для каждого А. Если абсолютно непрерывна и имеет плотность то действительная часть функции называется коспектральной плотностью, а мнимая часть — квадратурной спектральной плотностью для Отсюда

действительна и симметрична. Используя обозначения спектральной плотности, (60) можно переписать в виде

В терминах спектральных функций формулам (61) и (62) соответствует для