7.5.3. Процессы авторегрессии

В гл. 5 мы изучали стационарный процесс который удовлетворяет уравнениям

где процесс некоррелированных случайных величин с дисперсией (Для рассмотрения свойств, определяемых вторыми моментами, нет необходимости предполагать независимыми и одинаково распределенными величинами.) Для удобства допустим, что Если все корней уравнения

по абсолютной величине меньше 1, то, решая уравнение (38), получаем

что является процессом скользящего среднего. Если спектральная плотность процесса то

так как правая часть (41) — спектральная плотность процесса Таким образом,

Как показано в разд. 5.2.1, из стационарности процесса следует, что ни один корень уравнения (39) не может иметь абсолютное значение, равное 1. Это эквивалентно тому, что знаменатель в выражении (42) не обращается в нуль, и, следовательно, интегрируема. Если

Если то достигает минимума, равного в точке и максимума, равного в точках Функция убывает на отрезке и возрастает на отрезке Основную роль в спектре играют верхние частоты. Если то максимум достигается в точке а минимум — в точках в этом случае основную роль в спектре играют нижние частоты. Если то

Если то есть минимум функции максимум; если то максимум, минимум. Если для значения и в точке если корни комплексные), то максимум, а относительные минимумы; если корни действительные), то минимум, а относительные максимумы. Если корни комплексно сопряжены, скажем , то

Если близко к единице, то принимает максимальное значение в окрестности

В общем случае спектральная плотность есть произведение выражений вида (44) и (47). Если корень причем близко к 1, то функция принимает максимум при значении X из окрестностей точек

Спектральную плотность (42) можно записать в виде

Каждый множитель в выражении (48) можно заменить на Существуют различные способы представления как и для процесса скользящего среднего; здесь, однако, нет корней, равных по абсолютной величине 1. Если все корни выражения (39) по абсолютной величине меньше только формула (48) является выражением, которому соответствует уравнение со всеми корнями, меньшими единицы по абсолютной величине.