7.5.5. Линейные операции

Линейные операции, такие, как дифференцирование и сглаживание, были рассмотрены в гл. 3. Влияние этих операций на ковариационную структуру процесса можно изучать с помощью спектральных плотностей.

Следствие 7.5.3. Если то спектральная плотность процесса

представляет собой выражение

где спектральная плотность процесса оператор сдвига.

Рассмотрим процесс, полученный с помощью -кратного применения разностного оператора к процессу т. е.

Тогда если спектральная плотность процесса то

Вычитание приводит к поднятию высоких частот.

Добавление соседних членов представляет собой оператор пусть эта операция повторяется раз.

Если спектральная плотность процесса то

Суммирование приводит к поднятию низких частот.

Предположим, что и вычитание, и сглаживание выполнены. Если

то

Обозначим это через Отсюда

Первая производная равна нулюкогда

при этом значении вторая производная принимает вид

Таким образом, имеет максимум в точке Остальные нулевые значения первой производной есть нули выражения Выбирая должным образом мы можем сделать произвольно близким к любой заданной частоте. Если большие, то максимум (65) будет четко выраженным. Тогда будет иметь

максимум в окрестности точки и соответствующий процесс будет преимущественно волной косинуса с этой частотой.

Рассмотрим следующий пример скользящего среднего

Тогда

Сглаживание необходимо для увеличения спектральной плотности вблизи (низкие частоты) и для уменьшения ее вблизи