6.7.4. Распределение сериальных коэффициентов корреляции при двойных корнях для случая независимых наблюдений

Для реализации процедур, полученных в § 6.3 и 6.4, нам необходимы условные распределения статистик при заданных значениях статистик . В частности, при построении критерия для проверки нулевой гипотезы (если задано, что с определенным уровнем значимости необходимо знать распределение случайной величины при Это распределение не зависит от Рассмотрим в этой связи (маргинальное) распределение отдельного сериального коэффициента корреляции, когда Поскольку то наблюдения независимы. Если характеристические корни образуют пары, распределение сериального коэффициента корреляции получить довольно просто. Ввиду того что это распределение может быть использовано и для других сериальных корреляций, проведем исследование в общем виде и поэтому опустим индекс. Позже мы обсудим условное распределение случайной величины при заданных значениях

Предположим, что и что имеется ровно различных корней

Это будет, например, при нечетном в случае циклического сериального коэффициента корреляции первого порядка, использующего остатки от среднего значения, причем Положим

Тогда

Если то случайные величины независимы и имеют единичную дисперсию При этом условии случайные величины также независимы и каждая из них имеет -распределение с 2 степенями свободы. Плотность распределения случайной величины равна а совместная плотность распределения случайных величин имеет вид

и равна 0 в противном случае. Поверхности постоянной плотности представляют собой части гиперплоскостей, заключенные в положительном ортанте:

для Таким образом, условное распределение случайных величин при условии (35) будет равномерным распределением на соответствующем -мерном правильном тетраэдре. (Если то это распределение равномерно на равностороннем треугольнике.)

Соответствующая условная вероятность для коэффициента определенного в (33), равна

Здесь величины имеют условное равномерное распределение на -мерном тетраэдре (Это частный случай теоремы 6.7.2.) Таким образом, условная вероятность (36) не зависит от значения с, и из соображений удобства можно положить Это показывает, что коэффициент распределен независимо от суммы

Исходя из сказанного, займемся отысканием вероятности

где случайные величины предполагаются равномерно распределенными на -мерном тетраэдре

Вероятность (37) равна отношению -мерного объема тела, образованного пересечением тетраэдра (38) с множеством

к -мерному объему правильного тетраэдра (38).

Вершины правильного тетраэдра (38) находятся в точках причем все координаты точки равны нулю, за исключением координаты, которая равна Гиперплоскость пересекает ребро (определяемое соотношениями или его продолжение за границу положительного ортанта в некоторой точке с координатами

(Заметим, что Характеристические числа удобно здесь перенумеровать так, чтобы

Отметим, что при этом Если то указанная гиперплоскость пересекает каждое из ребер в промежутке между вершинами Иными словами, в этом случае координаты точек неотрицательны и отсекаемое от тетраэдра (38) условием множество является тетраэдром с вершинами Покажем, что для произвольных значений отсекаемое условием множество также может быть представлено с помощью тетраэдров. Тогда вероятность (37) можно выразить через объемы тетраэдров. См. рис. 6.1 и 6.2.

Лемма 6.7.2. Пусть представляет собой -мерный тетраэдр с вершинами в точках -мерный тетраэдр имеет вершинами точки где точка

Рис. 6.1. Области для

Рис. 6.2. Области для лежит на прямой Пусть длина отрезка равна длинам отрезка Тогда -мерный объем тетраэдра равен умноженному на -мерный объем тетраэдра Т.

Доказательство. Пусть произвольные (прямоугольные) координаты на -мерной гиперплоскости, ортогональной к прямой Пусть представляет собой длину части прямой, принадлежащей тетраэдру проходящей через точку параллельно ребру длину части той же прямой, принадлежащей тетраэдру Т.

(Если пересечение прямой с тетраэдром отсутствует, то соответствующая длина равна нулю.) Тогда и объем тетраэдра равен

Лемма 6.7.3. Пусть представляет собой -мерный тетраэдр с вершинами в точках а -мерный тетраэдр имеет вершинами точки где точка

лежат на прямой Пусть длина отрезка равна длинам отрезка Тогда -мерный объем тетраэдра равен умноженному на -ный объем тетраэдра Т.

Доказательство. Эта лемма вытекает из леммы 6.7.2 по индукции.

Пусть множество представляет собой пересечение (38) и (39). Потребуем теперь, чтобы и предположим, что Если вершины лежат в , а вершины вне . (Строго говоря, в лежит и если Определим множества следующим образом:

Каждое из них является тетраэдром с вершинами

Поскольку то

пустое множество. Кроме того,

Поскольку соотношения влекут за собой неравенство

а из него вытекает, что так что

Лемма 6.7.4.

Доказательство. Из соотношений (46) и (48) вытекает, что обе операции вычитания осмысленны. Поскольку то содержится в правой части (49) или (50). С другой стороны, всякая точка, принадлежащая правой части одного из этих соотношений, должна содержаться в 5. Действительно, всякая точка из правой части должна содержаться в одном из множеств (поскольку — непересекающиеся множества) и не должна содержаться ни в каком из Ввйду соотношений (46) и (48) такая точка обязана тогда принадлежать части множества, не содержащей точек множества а потому лежит в . Это и доказывает лемму.

Лемма 6.7.5. Отношение -мерного объема тетраэдра к -мерному объему тетраэдра (38) равно

Доказательство. Координаты вершины тетраэдра указаны в (40). Отношение длины ребра к длине ребра равно для для Утверждение леммы вытекает теперь из леммы

Теорема 6.7.4. Распределение коэффициента дается соотношениями

Доказательство. Утверждение теоремы вытекает из лемм 6.7.4, 6.7.5 и соотношения (45).

Следствие 6.7.3. Плотность распределения коэффициента равна

а равна нулю вне интервала

Распределение сериального коэффициента корреляции для случая, когда кроме двойных корней имеется еще и один простой, можно получить из (52). Представляется удобным доказать некоторый более общий результат, а из него уже в качестве следствия получить интересующее нас распределение. Пусть обозначают здесь произвольные веса.

Теорема 6.7.5. Положим

где независимые случайные величины, кйждая из которых распределена по стандартному нормальному закону

Тогда

Доказательство. Имеем

есть отношение двух независимых случайных величин, имеющих распределения степенями свободы соответственно. Таким образом, случайная величина имеет F-распределение с степенями свободы. В (56) использован тот факт, что отношение распределено независимо от 2

Следствие 6.7.4. Если то

Для того чтобы вычислить (57) при равном используется частный случай следующей леммы.

Лемма 6.7.6.

Доказательство. Произведя в левой части (58) замену

приведем ее к виду

Но последнее выражение есть в точности правая часть (58), поскольку входящий в него интеграл представляет собой бета-функцию

Следствие 6.7.5.

Теорема 6.7.6. Пусть

где независимые случайные величины, каждая из которых распределена по стандартному нормальному закону и Тогда

Доказательство. Заменим в правой части на Если ввиду того что Для имеем

а для справедливо Отсюда, используя (57), получаем

перестановкой порядка суммирования по для

(см. скан)

Это доказывает (63) для Чтобы доказать справедливость (63) и для необходимо произвести интегрирование по тем значениям и, для которых Чтобы обосновать справедливость (65) для этого случая, убедимся в том, что (52) при выполняется для соответствует соотношению для Последнее же есть частный случай следующей леммы.

Лемма 6.7.7.

Доказательство. Если в (52) положить получим Если в этом соотношении заменить на на оно примет вид

что совпадает с (66). Поскольку это имеет место для всех и левая часть (66) представляет собой полином от х, то равенство (66) является тождеством и сохраняется для всех х.

Следует отметить, что вероятность может быть получена из леммы 6.7.7 и теоремы 6.7.4 и выражается формулой, подобной (52). (См. упр. 35.) Следует также отметить, что теорему 6.7.4 можно доказать по индукции, используя теорему 6.7.5. Впервые соотношение (52) было найдено именно таким методом Андерсоном (1942) (при выводе совместного распределения величин (См. упр. 36.)

Другой метод доказательства теоремы 6.7.4 состоит в обращении соответствующей характеристической функции. (См. Купменс (1942).) Именно

и

Ввиду того что корни образуют пары и имеется различных корней то характеристическая функция (69) имеет простые полюсы и для ее обращения может быть использован обычный метод вычетов. (См. упр. 37.)