6.7.3. Канонические формы

Как мы уже видели в § 6.5, если является нормированным характеристическим вектором матрицы В, а соответствующий ему характеристический корень, то

где диагональная матрица, имеющая на диагонали элементы (Если условия ортогональности не обязательно выполняются, то можно в качестве новых характеристических векторов взять линейные комбинации векторов у, соответствующих общим характеристическим корням, и сделать это таким образом, что условия ортогональности будут выполнены.) Если столбцы матрицы V являются характеристическими векторами матриц отвечающими характеристическим корням соответственно, то

где матрица диагональна и имеет на диагонали элементы Если квадратичные формы могут быть записаны в виде

где Необходимое и достаточное условие для того, чтобы матрицы имели одни и те же характеристические векторы, состоит в выполнении соотношения

(См. упр. 31.)

Пусть диагональная матрица, определяемая соотношением матрица V размера состоит из столбцов, являющихся какими-то столбцами матрицы При этом столбцы матрицы V будут характеристическими векторами матриц Они будут соответствовать характеристическим корням матрицы которые представляют собой диагональных элементов матрицы Мы будем предполагать, что характеристические корни и характеристические векторы матриц перенумерованы таким образом, что указанные столбцов матрицы V являются ее последними столбцами, а соответствующие им характеристические корни матрицы образуют диагональную

матрицу являющуюся правой нижней угловой подматрицей размера матрицы

Нас будет особенно интересовать случай, когда ,

В этом случае

Таким образом (для

Если распределение вектора у есть где то плотностью распределения вектора будет

где компоненты вектора перенумерованы числами от до

В случае циклической модели вектор является характеристическим вектором матрицы соответствующим характеристическому корню корень), Каноническим

видом квадратичной формы остатков от среднего значения будет поэтому

В случае модели, в которой используется сумма квадратов последовательных разностей, вектор также будет характеристическим вектором матрицы соответствующим характеристическому корню 1, и

В третьей из рассматривавшихся моделей уже не является харакг теристическим вектором матриц и поэтому редукция квадратичной формы к взвешенной сумме квадратов не представляется возможной.

В общем случае мы можем иметь квадратичных форм определяющих сериальных коэффициентов корреляции и располагать ковариационной матрицей 2. Всегда можно найти такую матрицу С, что (эквивалентно диагональна для некоторого Однако, если только не имеется определенной связи между всеми этими матрицами, с помощью единственной матрицы С можно диагонализовать лишь одну из матриц Таким образом, если матрица 2 преобразуется к единичной и то при этом или числитель или знаменатель обязательно можно привести к взвешенной сумме квадратов. Однако одновременное приведение и числителя и знаменателя к такому виду не всегда возможно.

Следующее утверждение является следствием теоремы 6.7.3.

Следствие 6.7.2. Пусть вектор у имеет многомерное нормальное распределение где а столбцы матрицы V являются характеристическими векторами матрицы соответствующими характеристическим корням Тогда характеристическая функция квадратичной формы в которой является оценкой наименьших квадратов вектора имеет вид