10.3.4. Асимптотическое смещение оценок спектральной плотности

Рассмотрим теперь

где

симметричная функция и — возрастающая последовательность целых чисел типа исследовавшихся в гл. 9. Тогда

где

Слагаемое в (63) было изучено в гл. 9. Рассмотрю второе слагаемое. Имеем

где

Умноженное на последнее слагаемое в (67) оценивается по абсолютной величине следующим образом:

Здесь мы использовали неравенство Коши-Шварца. Пусть и Тогда математическое ожидание правой части (68) равно

где для Для любого

Умноженное на математическое ожидание абсолютной величины последнего члена в (67) ограничено поэтому значением которое по предположению конечно.

Умноженная на абсолютная величина первого члена в правой части (67) имеет математическое ожидание

(см. скан)

поскольку квадрат (71) не превосходит

Таким образом, математические ожидания умноженных на абсолютных величин первого и второго членов правой части (67) также ограничены значением

Теорема 10.3.7.

Из (66) имеем

Теорема 10.3.8.

Теорема 10.3.9.

Теорема 10.3.10. Предположим, что для некоторого и для всех Предположим, для некоторых Пусть последовательность целых чисел, такая, что при Пусть, кроме того,

для некоторого Тогда, если при то

Доказательство. Справедливость теоремы вытекает из теорем 10.3.9 и 9.3.3.

Следствием последней теоремы является то, что если растет достаточно медленно по отношению к а именно если при то добавочное смещение оценки из-за наличия неизвестной регрессии оказывается несущественным по сравнению со смещением, возникающим при известном математическом ожидании. Если то указанное условие будет иметь вид если то получаем условие Мы хотим показать, что асимптотическое распределение разности совпадает с асимптотическим распределением Теорема 10.3.8 и обобщенное неравенство Чебышёва приводят к следующему результату.

Теорема 10.3.11. Пусть функция такова, что при Если и функция ограничена на 1, и, то

Следствие 10.3.2. Если и функция ограничения на то

Из следствия 9.4.1 и следствия 10.3.2 выводим следующий результат.

Теорема 10.3.12. Пусть определяется соотношениями в которых функция непрерывна на при Пусть где

последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с

Если выполнены условия теоремы 9.4.3 и если конечен при или при имеет в пределе нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией, указанной в теореме 9.3.4.

Асимптотическое распределение оценки не изменяется при использовании остатков от регрессии, подобранной по методу наименьших кваратов. Теорема 10.3.11 показывает, что для получения в пределе нетривиальной случайной величины разность следовало бы домножать на в то время как разность для той же цели следует домножать на Таким образом, разность обычно имеет ббльший порядок малости по сравнению с

Большая часть результатов § 10.3 содержится в работе Хеннана (1958).