6.7.2. Характеристические функции

Один из возможных подходов к отысканию распределений квадратичных форм или статистик состоит в использовании характеристической функции случайных величин

Теорема 6.7.3. Если вектор у распределен согласно то многомерная характеристическая функция случайных величин Равна

Доказательство. Для чисто мнимых значений достаточно малых по абсолютной величине, равенство (10) можно получить, используя тот факт, что интеграл от равен Для доказательства справедливости соотношения (10) при действительных значениях редуцируем многомерный интеграл к произведению интегралов от одной переменной.

Для фиксированных вещественных значений пусть С будет такой матрицей, что

где диагональная матрица. (Если матрица А положительно определена, а матрица В симметрична, то всегда найдется такая матрица С, что и матрица диагональна. См. упр. 30.) Тогда (при

ввиду того, что если случайная величина распределена по закону то случайная величина (распределенная по закону с одной степенью свободы) имеет характеристическую функцию Используя (11) и (12), получаем из (13) соотношение

совпадающее с (10), что и требовалось.

Следствие 6.7.1. Если вектор у распределен с плотностью то многомерная характеристическая функция квадратичных форм равна

В принципе для получения совместного распределения квадратичных форм можно взять обратное преобразование Фурье от найденной характеристической функции. Однако на практике это может быть выполнено далеко не всегда. Для нахождения совместного распределения статистик можно воспользоваться соотношением

Многомерную характеристическую функцию статистик получим, используя теорему 6.7.3, если в последней положим