3.4.2. Вычисление последовательных разностей
Метод переменных разностей основан на вычислении последовательных разностей элементов временного ряда. Установим систему обозначений для таких вычислений и отметим некоторые их свойства. Пусть 
оператор, определяемый соотношением
По любой заданной последовательности 
этот оператор строит новую последовательность, индексы в которой сдвинуты на единицу. Мы будем писать также 
Оператор такого рода есть функция, аргументами и значениями которой являются последовательности. Оператор О называется
линейным, если для любой последовательности 
и для любого действительного числа с
и, кроме того, для любой пары последовательностей 
Очевидно, что 
является линейным оператором. Мы будем использовать запись (1), понимая ее и как результат применения оператора 
к целой последовательности, и как результат операции над отдельным элементом 
последовательности.
Определим 
как тождественный оператор 
а оператор 
определим рекуррентно как 
т. е.
По индукции можно вывести, что
Оператор 
задается соотношением
Определим далее сумму операторов соотношением
Как следует из (7),
Таким образом, определен полином от (с действительными коэффициентами). Операции над этими полиномами (умножение и т. д.) согласуются с операциями над полиномами от абстрактной переменной. (Сумма бесконечного числа операторов есть предел левой части (8), если правая часть сходится в некотором смысле.)
В частности, представляет интерес полином 
(разность первого порядка), действующий следующим образом:
Разность второго порядка есть
или, что эквивалентно,
Разности более высоких порядков определяются как
Для удобства вычислений мы можем предпочесть определение 
Для заданной последовательности в этом случае следовало бы поочередно вычислять: 
.
Важным свойством операции вычисления разностей является результат ее воздействия на последовательность, образованную полиномами от 
Мы имеем
Существенным моментом является здесь то, что применение разностного оператора к полиному понижает степень последнего на единицу. Из этого факта следует, что если 
полином степени к, то
Ранее мы рассмотрели тренды, которые или являются полиномами, или хорошо аппроксимируются полиномами на интервалах. С помощью операции вычисления разностей такие тренды редуцируются к нулю или к функции, близкой к тождественному нулю. (Более полно об исчислении разностей см. Жордан (1939) или Миллер (1960)).
