6.3.3. Случаи, когда равномерно наиболее мощного критерия не существует

Имеется целый ряд задач сериальной корреляции, решения которых нельзя получить из теорем 6.3.4. и 6.3.5. Если бы мы хотели проверить нулевую гипотезу

против альтернативы заданные числа, то равномерно наиболее мощный подобный критерий мог бы иметь критическую область

где константа с подбирается так, чтобы условная вероятность события (35) при нулевой гипотезе была равна Если альтернативные значения параметров имеют вид

где фиксированы, то критическая область (35), с замененными на будет наилучшей для всех альтернатив Однако, если альтернативные значения не лежат на прямой (36) в пространстве параметров, область (35) не будет одной и той же для всех допустимых альтернатив Но это и означает, что в данном случае не существует равномерно наиболее мощного критерия.

Рассмотрим стационарный случайный процесс, определяемый соотношением

в котором а каждое распределено нормально, с нулевым средним и дисперсией и не зависит от При этом маргинальное распределение выборки задается выражением (1), в котором

Множество альтернатив для не лежит на прямой. Поэтому здесь не существует равномерно наиболее мощного критерия даже для односторонних альтернатив.

Если мало (т. е. близко к нулю), этот случай подобен модели разд. 6.5.4. Если близко к —1, такой случай подобен модели разд. 6.5.3. Следовательно, можно предположить, что для проверки гипотезы в этой модели (когда среднее значение известно) полезной статистикой должны оказаться одна или две соответствующие корреляции. Положительная зависимость соответствует

Пусть (37) определяет распределение для при условии Тогда будут такими же, как и в предыдущем случае, а

Множество альтернатив для не лежит на прямой, так что и здесь для проверки гипотезы не существует равномерно наиболее мощного критерия.

Модель, определяемая разностным уравнением второго порядка

с циклическим определением приводит к плотности (1) с

Если альтернативные гипотезы не связывают специальным образом то равномерно наиболее мощного критерия для проверки гипотезы не существует.

Теория, изложенная в этом параграфе, была развита Т. Андерсоном (1948), (1963).