10.3.2. Асимптотическое смещение выборочных ковариаций

Рассмотрим теперь ситуацию, когда где стационарный в широком смысле случайный процесс с нулевым средним, ковариационной последовательностью и спектральной плотностью Выборочная ковариация порядка А, полученная по выборке длины 7, равна

где

и матрица имеет ранг Ее можно записать иначе:

Теорема 10.3.1. При условиях 10.2.1-10.2.5

Доказательство. Из (15) [в силу того, что имеют место равенства

получаем, что

Третий член в правой части (17) имеет предел

в соответствии с (62), (64) и (94) § 10.2. Первый член в правой части равен

где для для для Второй член в правой части (17) равен

Если является тригонометрическим полиномом [т. е. при для некоторого ], то пределом (19) будет

Подобным же образом

Если непрерывна, то найдутся такие тригонометрические полиномы и что и Указанные выше пределы сохранятся для последовательностей и Пусть для произвольных а и причем Тогда как и в разд. 10.2.3. Соответствующая аргументация пригодна и для

Поскольку предел существует для любых значений это означает, что существуют пределы и для отдельно взятых членов соотношения (23), стоящих при Отсюда следует, что при непрерывной спектральной плотности пределом сумм (19) и служат суммы (21) и (22).

Предположим теперь, что оценки наименьших квадратов асимптотически эффективны. Тогда матричная функция имеет скачки при при если при скачков нет. (Матрицы действительны.) Первое слагаемое в правой части (16) равно

а второе

поскольку

Теорема 10.3.2. Пусть выполнены условия 10.2.1-10.2.5. Если: при этом имеет скачки при то

Если имеет кроме того, скачок то

Теорема 10.3.2 является обобщением теоремы 8.3.2. Значение теорем 10.3.1 и 10.3.2 состоит в том, что смещение оценки имеет порядок Следует отметить, что асимптотическое смещение можно оценить состоятельно.

Покажем теперь, что при соответствующих условиях предельное распределение величины совпадает с предельным распределением величины и с предельным распределением, полученным в разд. 8.4.2.

Теорема 10.3.3. Если выполнены условия то

где Доказательство. Прежде всего

где Последний член в (30) равен

Поскольку имеет предел при то (31) сходится по вероятности к 0. Квадрат второго члена в (30) равен

Для произвольного вектора

имеет в условиях теоремы предел а Поэтому и второй член в правой части (30) сходится по вероятности к 0. Что касается первого члена, то он оценивается аналогичным образом.

Теорема 10.3.4. Если выполнены условия 10.2.1-10.2.5 м условия теоремы 8.4.2, то вектор имеет предельное нормальное распределение с нулевыми средними и ковариациями, приведенными в теореме 8.4.2.

При надлежащих предположениях относительно моментов четвертого порядка можно показать, что пределы ковариаций совпадают с пределами ковариаций и без обязательного выполнения всех условий, необходимых для асимптотической нормальности.