9.6. ОБСУЖДЕНИЕ

Пусть стационарный в широком смысле процесс имеет спектральную плотность. Тогда эта плотность, являясь преобразованием Фурье ковариационной последовательности, определяет ковариационные свойства процесса. Спектральную плотность можно связать с дисперсиями (или Энергией) синусоидальных составляющих лроцесса, имеющих случайные амплитуды и фазы. Оценка спектральной плотности по наблюдаемому временному ряду является в сущности непараметрическим методом, поскольку здесь по конечному множеству наблюдений оценивается функция на которая не определяется конечным числом параметров. Такая процедура используется обычно в тех случаях, когда исследователь не хочет связывать себя параметрической моделью определенного вида с определенным числом параметров для спектральной плотности или ковариационной последовательности, как это было сделано в гл. 5. Спектральный анализ является более гибким инструментом, чем параметрические выводы. Однако это достигается за счет уменьшения точности оценок. О нем можно говорит скорее как о методе исследования или о методе аналитического представления данных.

Для того чтобы оценивание спектра было информативным, наблюдаемый ряд должен иметь достаточную длину. Необходимая длина ряда зависит от характера спектральной плотности процесса. Спектральную плотность некоррелированной последовательности можно оценить по относительно короткому ряду наблюдений, тогда как для оценки плотности, имеющей много пиков, потребуется значительно большее число наблюдений. Фактически большое число

наблюдений необходимо и для успешного применения асимптотической теории.

Выбор константы К (или зависит как от характера оцениваемой спектральной плотности, так и от размера выборки. Чем более гладкой является спектральная плотность, тем меньшим может быть выбрано значение К (для обеспечения меньшей дисперсии). Однако, поскольку спектральная плотность является предметом оценивания, «оптимальное» значение К заранее неизвестно. Поэтому следует испытывать несколько различных значений Как видно приведенных примеров, выбор слишком малого значения К может привести к тому, что какое-то количество пиков спектральной плотности окажется незамеченным. Наоборот, выбор слишком большого К приводит к крайне нерегулярному поведению оценки.

Мы уже замечали, что если то можно представить в виде

где действительные числа. Из результатов § 7.5 вытекает тогда, что можно представить в виде полинома степени от Поэтому может иметь на не более локальных максимумов и минимумов. Если принимает и отрицательные значения, то указанный вывод уже не будет справедлив. В качестве примера такой можно привести оценку Бартлетта спектральной плотности, которой соответствует окно, принимающее и отрицательные значения.

В связи с тем, что соответствующая некоррелированным переменным плоская спектральная плотность оценивается наиболее просто, часто оказываются полезными преобразования, приводящие к упрощению спектральной плотности. Говоря более точно, поскольку всякое линейное преобразование временного ряда соответствует умножению спектральной плотности на некоторую передаточную функцию, то при соответствующей информации о характере оцениваемой спектральной плотности преобразование можно выбрать так, чтобы сделать спектральную плотность более плоской. Затем можно оценить новую спектральную плотность и, разделив полученную оценку на соответствующую передаточную функцию, получить оценку исходной спектральной плотности. Подобная процедура обсуждалась в конце § 9.4.

Следует отметить, что с вычислительной точки зрения вместо вычисления ковариаций гораздо более выгодно применять быстрое преобразование Фурье (описанное в разд. 4.3.5). Если интересуются формой спектральной плотности, то можно оценить

нормированную спектральную плотность При этом можно использовать ту же асимптотическую теорию, только следует всюду заменить на

Большинство теоретических и выборочных спектральных плотностей, а также оценок спектральных плотностей представлено в логарифмическом масштабе. Это связано с тем, что асимптотическая дисперсия логарифмов выборочных спектральных плотностей и оценок спектральных плотностей не зависит от значений самих плотностей. Однако представление этих плотностей в обычном масштабе имеет свои преимущества. Значение плотности для каждой частоты соответствует в этом случае дисперсии амплитуд вблизи этой частоты. Далее, колебания спектральной плотности в той области частот, где ее значения малы, не играют особой роли. При использовании же логарифмического масштаба эти колебания становятся преувеличенными, так что становятся заметными столь незначительные локальные максимумы, которые не были видны простым глазом в арифметическом масштабе. Если оценка спектральной плотности является арифметическим средним значений выборочной спектральной плотности то сравнение также проще производить в обычном масштабе.

В ряде примеров некоторые локальные максимумы соответствуют частотам, кратным той частоте, на которой наблюдается абсолютный максимум. Поскольку в ряд Фурье, аппроксимирующий периодическую функцию или последовательность, не являющуюся тригонометрической, входит несколько слагаемых, то упомянутые вторичные пики могут просто указывать на несинусоидальный характер основной периодической компоненты.

Во введении к этой главе уже отмечалось, что если рассматриваемая здесь оценка спектральной плотности неотрицательна, то ее можно трактовать как спектральную плотность некоторого процесса скользящего среднего. Другой метод оценивания спектральной плотности состоит в оценке коэффициентов процесса авторегрессии, аппроксимирующего процесс, из которого получена выборка. В качестве оценки спектральной плотности исходного процесса используют спектральную плотность подобранного процесса авторегрессии. Такие оценки и оценки типа скользящего среднего ведут себя асимптотически одинаково, однако эквивалентность обоих методов теоретически пока не доказана. Приведенный пример, связанный с индексом Бевериджа цен на пшеницу с выделенным трендом, говорит о том, что следует, по-видимому, предпочесть небольшие запаздывания, но использование слишком малых запаздываний может привести к неправильным выводам. Так, максимум спектральной плотности подобранного для этого случая процесса авторегрессии второго порядка не согласуется ни с одним из максимумов спектральных плотностей подобранных процессов более

высоких порядков. Однако преимуществом указанного метода является то, что получаемые коэффициенты дают возможность прогнозировать значения функции и существует разумный способ определения нужного числа запаздываний (§ 5.6).

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)