4.4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ВЫВ ОДЫ ДЛЯ СЛУЧАЯ, КОГДА ПЕРИОДЫ ТРЕНДА НЕ ЯВЛЯЮТСЯ ДЕЛИТЕЛЯМИ ДЛИНЫ РЯДА

4.4.1. Определение тригонометрических коэффициентов и амплитуд для произвольных частот и их моменты

В предыдущем параграфе предполагалось, что изучаемый циклический тренд имеет периоды, нацело делящие длину ряда. Это предположение разумно в тех случаях, когда имеется предварительная информация о возможных периодах и длина ряда согласуется с этими периодами (так будет, например, если рассматривается сезонное изменение и имеются ежемесячные данные, накопленные за определенное число лет). Однако во многих случаях длина ряда определяется на основании каких-то факторов, никак не связанных с возможными периодами, а исследователь не имеет желания ограничиваться в своем рассмотрении только теми периодами, которые являются делителями длины ряда. Например, такова модель периодического тренда, предложенная для экономических рядов, обнаруживающих флуктуации из-за так называемого цикла деловой активности. Данные могут быть при этом ежегодными, а длина ряда определяется либо доступностью материала (например, тем, когда то или иное агентство начало собирать те или иные данные), либо внешними событиями (такими, как мировые войны). Цикл деловой активности может иметь периоды любой длины. Экономист может нуждаться в рассмотрении любых периодов, больших или равных 2. (В дальнейшем мы обсудим критику возможности применения указанной модели к экономическим временным рядам.)

В общей математической модели тренд представляется в виде суммы

в которой имеет (наименьший) период Однако такая модель является слишком общей для того, чтобы ее можно было изучать непосредственно на основе наблюдений. Мы обсудим несколько более ограничительные формулировки. Рассмотрим простейший случай, когда состоит из одной периодической и притом тригонометрической функции. Точнее, будем предполагать, что

где

Наблюдения можно взаимно однозначно заменить коэффициентами

Последний коэффициент включается в рассмотрение, если четное. Как уже было указано выше, это множество коэффициентов есть непосредственный результат преобразования исходных данных. Дисперсии и ковариации этих коэффициентов равны, как и прежде,

При желании можно рассмотреть величины

для всех из отрезка При этом Средние, дисперсии и ковариации этих коэффициентов являются суммами произведений тригонометрических функций.

Лемма 4.4.1. Для выполняются соотношения

(см. скан)

Для выполняются соотношения

Эти равенства получаются из рассмотрения сумм для (10), (11), (13), (14) и для (11), (12), (14), (15) с использованием метода (8) в § 4.2. (См. упр. 29.)

Средние, дисперсии и ковариации и приведены в теореме 4.4.1.

Теорема 4.4.1. Если то

(см. скан)

(см. скан)

Если то соответствующие дисперсии и ковариации сводятся к (7). Математические ожидания также принимают более простой вид, поскольку

Следствие 4.4.1.

(кликните для просмотра скана)

для четного для Мы будем предполагать, что Дело в том, что если то вместо X можно рассмотреть поскольку

Выборочная функция интенсивности определяется равенством

Если то Теоретической величиной, соответствующей является

При обращается в

Заметим следующее. Пусть тригонометрический тренд имеет период, являющийся делителем длины ряда, т. е. Тогда математические ожидания выборочных тригонометрических коэффициентов имеющих периоды, отличные от периода тренда, но являющиеся делителями длины ряда, равны нулю. Сумма квадратов этих математических ожиданий, т. е. квадрат теоретической амплитуды также равен нулю в этом случае. Если то квадрат теоретической амплитуды равен одновременно квадрату амплитуды тренда Кроме того, и если четное, то и (Если то если Если при четном то Вообще отличными от нуля будут математические ожидания тех выборочных тригонометрических коэффициентов, периоды которых не являются делителями длины ряда При этом будут отличны от нуля и соответствующие Однако если период тренда не является делителем длины ряда, то будут отличны от нуля математические ожидания и всех тех выборочных тригонометрических коэффициентов, периоды которых являются ее делителями, а также соответствующие теоретические амплитуды. Резюмируем: совокупность теоретических амплитуд обладает следующим специфическим свойством. Случай, когда ровно одна амплитуда равна а остальные амплитуды равны 0, может наблюдаться, только если период тренда равен одному из значений:

В предположении, что величины имеют совместное нормальное распределение, квадратичная форма

(см. скан)

имеет нецентральное -распределение с 2 степенями свободы и параметром нецентральности

(см. скан)

Если то (29) будет равно , а (30) обратится в Распределенные по (центральному или нецентральному) закону величины, кратные независимы. Однако выборочные амплитуды для будут, вообще говоря, взаимно зависимыми.