Глава 8. ВЫБОРОЧНЫЕ СРЕДНЕЕ, КОВАРИАЦИИ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ

8.1. ВВЕДЕНИЕ

Стационарный гауссовский процесс полностью описывается своим средним значением и ковариационной последовательностью или средним значением и спектральной функцией или средним значением и спектральной плотностью, когда последняя существует. Все эти описания процесса эквивалентны. Если процесс не гауссовский, указанные величины также немаловажны, хотя они не определяют процесс однозначно. В настоящей главе мы рассмотрим выборочные аналоги этих величин. Выборочное среднее величин обозначаемое у, есть несмещенная оценка среднего значения процесса Если математическое ожидание известно, то выборочная ковариация определяется как сумма произведений » деленная на число наблюдений или на число членов в сумме Если неизвестно, то выборочную ковариацию можно определить, используя отклонения от средних значений . Мы также рассмотрим и другие определения.

Тригонометрические коэффициенты определяются в виде и где известно; можно заменить на у, когда неизвестно. Выборочная спектральная плотность есть число, кратное выборочному квадрату амплитуды точнее .

Найдем первый и второй моменты этих выборочных величин. Большинство этих моментов являются сложными функциями первого, второго и четвертого моментов процесса. В § 8.3 мы найдем

лределы соответствующим образом нормированных моментов. Выборочные значения среднего, ковариации, корреляции и тригонометрические коэффициенты асимптотически нормально распределены при соответствующих условиях (§ 8.4).

Выборочная спектральная плотность распределена в пределе как с двумя степенями свободы, умноженная на Таким образом, не является состоятельной оценкой для . В гл. 9 мы рассмотрим оценку спектральной плотности в более общих условиях.