7.4. СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СТАЦИОНАРНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

7.4.1. Стохастические интегралы

Процесс с непрерывным параметром можно представить в спектральной форме, используя понятие стохастического интеграла. Стохастические интегралы случайных процессов связаны с интегралами от спектральных функций этих процессов.

Спектральное представление случайного стационарного процесса позволяет найти связь между спектральными функциями и дисперсиями случайных амплитуд тригонометрических функций, составляющих этот процесс.

Мы не будем излагать теорию спектрального представления стационарных процессов с полными выводами ввиду того, что никакие дальнейшие математические построения на ней не основываются. Эта теория нам нужна только для того, чтобы сделать ясными основные статистические идеи.

Рассмотрим случайный процесс Будем считать известными совместные распределения конечных совокупностей Процесс назовем процессом с некоррелированными приращениями, если

где То есть приращения процесса по двум непересекающимся интервалам некоррелированы. Для того чтобы (1) имело смысл, предположим, что

Потребуем, чтобы было не коррелировано с Для из (1) вытекает

Таким образом,

т. е. должна быть монотонно неубывающей. Более того, для

Говорят, что процесс является процессом с независимыми приращениями, если его приращения по каждому конечному набору непересекающихся интервалов взаимно независимы. В таком случае для любого X представляет собой сумму независимых случайных величин.

Теперь мы попытаемся определить

по аналогии с интегралом Римана — Стильтьеса

где непрерывна на отрезке а функция монотонна неубывающая. Предположим, что непрерывна в точках 0 и . Тогда (7) аппроксимируется выражением

где

Мы хотим доказать, что если достаточно мал, то сумма (8) слабо зависит от используемого разбиения.

Так как функция непрерывна на отрезке то она и равномерно непрерывна на этом же отрезке. То есть для любого существует такое что

Лемма 7.4.1. Если определено по формуле (8) и

где некоторое новое разбиение отрезков и если

для некоторого такого, что (10) имеет место для заданного , то

Доказательство. Пусть отличны от Пусть равно если равно если Тогда имеет место соотношение

ввиду того что

Если мы возьмем последовательность разбиений таких, что то совместные суммы сходятся и их пределом является интеграл (7). По лемме 7.4.1 частичные суммы определенные любой другой последовательностью разбиений сходятся к той же самой величине.

Определим стохастический интеграл (6), как предел в среднем аппроксимирующих сумм

Заметим, что сумма является линейной комбинацией некоррелированных случайных величин. Математическое ожидание аппроксимирующей суммы (15) равно нулю, а дисперсия равна

Покажем, что различие между и выражением

мало в том смысле, что математическое ожидание мало.

Лемма 7.4.2. Если определены соответственно формулами (15) и (17), — ковариационная функция и (12) выполняется для некоторого такого, что (10) имеет место для заданного , то

Доказательство. Пусть определены как и раньше. Тогда

Последовательность сумм определенная последовательностью разбиений таких, что , сходится в среднем к случайной величине, которая записывается в виде интеграла (6) (теорема 7.6.1). Из леммы 7.4.2 следует, что любая другая последовательность сумм сходится в среднем к той же самой случайной величине.

Так как то математическое ожидание интеграла (6) равно нулю. Из (16) получаем

Если другая непрерывная функция на то

Это следует из теоремы 7.6.4.

Мы предположили, что непрерывна в 0 и . Если это не так, то интеграл (6) будет включать и или любое из этих выражений в отдельности.

Для более глубокого изучения стохастических интегралов можно обратиться к книге Дуба (1953, гл. IX, разд. 2).