7.5.4. Процессы авторегрессии с остатками в форме скользящего среднего

Предположим, что возмущение в стохастическом разностном уравнении является процессом скользящего среднего, а именно

где (для удобства), Если спектральная плотность процесса то

так как спектральная плотность процесса Тогда спектральная плотность для представляется в виде

Это выражение является рациональной функцией от Числитель и знаменатель можно записывать различными способами. Потребуем, чтобы корни полинома, соответствующего знаменателю, были меньше 1 по абсолютной величине, а корни полинома, соответствующего числителю, были не больше 1 по абсолютной величине. (Например, 1 может быть корнем числителя, но не знаменателя, если см. теорему 5.2.2.) Мы также предположим, что эти два полинома не имеют общих корней. (Если существуют общие корни, то числитель и знаменатель можно сократить на соответствующие множители.)

Произвольную непрерывную спектральную плотность можно аппроксимировать рациональной спектральной плотностью. Действительно, любую непрерывную спектральную плотность можно аппроксимировать спектральной плотностью процесса скользящего среднего. Это следует из теоремы Вейерштрасса об аппроксимации тригонометрическими функциями. Эта теорема утверждает, что если к непрерывная функция на отрезке причем к то для любого существует тригонометрический полином с действительными значениями

где коэффициенты действительны, такой, что

См., например, Лукач (1960, Приложение Если то можно считать симметричным (так, если бы аппроксимирующий полином не был симметричен, то можно было выбрать Тогда действительны

Теорема 7.5.2. Если спектральная плотность непрерывна то для произвольного существует спектральная плотность

где действительны,

Доказательство. Пусть и пусть удовлетворяет теореме Вейерштрасса об аппроксимации с заменой в (53) 8 на Тогда

Следствие 7.5.1. Если спектральная плотность непрерывна, то для произвольного существует такой конечный процесс скользящего среднего (17) с положительной спектральной плотностью (18), обозначаемой что будет выполняться условие для

Доказательство. В разд. 7.5.1 было показано, что произвольная ковариационная последовательность, которая имеет конечное число ненулевых ковариаций, является ковариационной последовательностью конечного процесса скользящего среднего. Используя теорему 7.5.2, произвольную непрерывную спектральную плотность можно аппроксимировать положительной спектральной плотностью (54).

Следствие. 7.5.2. Если спектральная плотность непрерывна, то для произвольного существует такой процесс авторегрессии удовлетворяющий (38), со спектральной плотностью (42), обозначаемой что выполняется условие когда

Доказательство. Пусть если если Тогда . Так как плотность непрерывна и положительна на отрезке то тоже непрерывна, положительна и ограничена и представляет собой спектральную плотность стационарного процесса. Из следствия 7.5.1 вытекает существование такой положительной спектральной плотности процесса скользящего среднего, обозначаемой что выполняется условие едля Тогда выражение представляет собой спектральную плотность процесса авторегрессии с и

если

Это доказывает следствие.

Таким образом, непрерывную спектральную плотность можно сколь угодно точно аппроксимировать спектральной плотностью процесса скользящего среднего или спектральной плотностью процесса авторегрессии. Аналогично соответствующую ковариационную последовательность можно также аппроксимировать сколь угодно точно (см. упр. 28).