3.3.3. Сезонные изменения

Если на временной ряд накладываются регулярные периодические изменения, то полезным оказывается иной подход. Во многих ежемесячных временных рядах проявляется, например, сезонный фактор. Изучаемую функцию времени можно записать при этом в виде

где функция имеет период для ежемесячных данных, 4 для ежеквартальных и т. д.), т. е.

Мы можем нормировать таким образом, чтобы

Из периодичности следует при этом, что и

Обычно выбирается таким, чтобы оно делилось нацело на (Например, при ежемесячных данных за лет При произвольном выборе данное выше описание не позволяет однозначно определить до тех пор, пока не будут наложены определенные условия на функцию Обычно предполагается, что она или является медленно меняющимся трендом, или циклическая.

Скользящее среднее с членами и равными коэффициентами будет устранять сезонное колебание в том смысле, что

Если четное, что обычно имеет место в экономических данных, то используем

Тогда

Если долговременный тренд меняется медленно, то (43) близко к . В частном случае, когда функция линейна, (43) в точности равно

При функцию можно определить однозначно соотношением

Сезонный эффект декабря равен, например, разности между средний по всем декабрям и средним по всем данным. Оценкой функции служит в этом случае

Эта оценка является несмещенной и имеет дисперсию

Альтернативный метод оценивания состоит в использовании отклонений от сглаженных значений. Если то соответствующие оценки для следующие:

Ввиду того что в сглаживаемых рядах отсутствуют первых и последних членов, средние (47) должны основываться на отклонениях. В более подробной записи они имеют вид

Дисперсия оценки (48) равна

Может показаться, что оценка (48) несколько предпочтительнее, так как применение скользящего среднего является более

гибким подходом, чем точное описание тренда. Однако разница между (48) и (45) заключается только в использовании крайних членов, именно в отбрасывании крайних членов и использовании половинных значений двух других крайних членов. Легко проверить, что (49) больше чем (46). [См. Дурбин (1963).]

При рассмотрении многих экономических временных рядов статистики полагают, что составляющие ряд воздействия перемножаются. Иными словами, они предполагают, что ряд имеет вид

где тренд, сезонный фактор, случайный фактор, причем все сомножители положительны. Применяемое в этом случае так называемое «отношение к скользящему среднему» (ratio-to-moving average) заключается в последовательном образовании ряда скользящих средних (42) и использовании отношений вместо разностей из (47). Для получения оценки сезонного фактора, соответствующей суммам (47), производится усреднение образованных отношений при каждом значении (или находится медиана этих отношений). Если произведение средних (или медиан) указанных отношений не равно 1, как это обычно и бывает (в то время как сумма оценок (48) должна была бы всегда равняться нулю, если бы не влияние крайних членов), то каждое отношение умножается на одно и то же число, так чтобы результирующее произведение равнялось 1. Альтернатива к этой процедуре состоит в использовании логарифмов. При этом

Если полученные ряды и их компоненты удовлетворяют сделанным ранее предположениям, то для оценивания функции можно использовать (45) или (48). Этот метод представляется более предпочтительным. Дело в том, что метод отношений к скользящему среднему не имеет строгого математического обоснования. Более того, чувствуется, что он не является безукоризненным в этом отношении, поскольку использует аддитивные методы при мультипликативных факторах (это проявляется в необходимости видоизменять оценки, принудительным образом домножая их произведение до 1).

Мы определили сезонное изменение в (44) чисто формальным образом. Экономист обычно представляет себе сезонное изменение как проявление определенного поведения, обусловленного тем или иным временем года, а тренд — как долговременную тенденцию,

обусловленную более устойчивыми воздействиями. При этом является суммой сезонного воздействия и долговременного тренда причем (по крайней мере субъективно) определяются независимо. При таком подходе функция может и не быть строго периодической, медленно меняя со временем свой вид. Можно предположить, например, что

где медленно меняющаяся функция. Мы, однако, не будем развивать далее это направление. Метод анализа сезонных изменений, основанный на подобной модели, предложен Вальдом (1936). Изменяющиеся сезонные колебания рассматривались затем Хеннаном (1964), Боксом и Дженкинсом (1970).

Статистики иногда рассматривают экономический временной ряд как ряд, складывающийся из долговременного тренда, цикли ческого изменения, сезонного воздействия и нерегулярной составляющей. Тренд является долговременной тенденцией изменения, обусловленной ростом популяции, технологическими изменениями и другими достаточно долговременными воздействиями. Циклическое же изменение связано с колебаниями, известными под названием цикла деловой активности. С этой точки зрения циклическое изменение не обязательно периодично, как это имело место у сезонного изменения в (38). Тем не менее иногда предполагают, что скользящее среднее устраняет влияние циклического изменения при оценивании тренда. Вопрос об эффективности этой процедуры мы рассмотрим позднее.

Сглаживающие формулы могут быть основаны не только на полиномах, но и на других выравнивающих функциях. Кроме того, эти функции не обязательно должны подбираться с использованием равных весов. Значения в точках могут быть обработаны так, как если бы они имели возрастающую дисперсию.

Задачу получения сглаженных значений на концах рядов можно решать различными способами. Значения в начале ряда могут не играть особой роли. Значения же непосредственно в конце ряда обычно наиболее существенны. Если сглаживающая формула основывается на подборе полинома степени по точкам, то полином, подобранный Значениям можно использовать для получения значений сглаженного ряда и при и при Эти сглаженные значения также являются линейными комбинациями значений [Коуден (1962) приводит соответствующие коэффициенты для ]. Другой подход состоит в применении сглаживающих процедур, основывающихся на использовании в конце ряда меньших значений При таком подходе (поскольку и должны быть равны в этом

случае нулю), что является не вполне удовлетворительным. Оба эти метода дают сглаженные значения, обладающие в конце ряда большей вариабельностью, чем в его середине.