15.9. Плоский изгиб стержня

Рассмотрим изгиб стержня в плоскости его наименьшей жесткости. Полагая

имеем согласно (15.66)

Таким образом, ось стержня деформируется в плоскости и

Далее по (15.67), (15.10) находим

Вводя обозначения

находим из (15.86) и (15.69)

Положительные направления усилий и моментов показаны на рис. 15.8.

Согласно (15.45), (15.69), (15.88) и (15.87) уравнения движения могут быть записаны в любой из следующих форм:

Рис. 15.8

Далее из соотношений (15.42), (15.26), (15.27), (15.29), (15.31), (15.34)-(15.37), (15.75)-(15.80) имеем: для сжимаемого материала — определяется из уравнения

В частности, для стандартного материала второго порядка

Для несжимаемого материала

В том числе для трехконстантного материала

В частности, для неогуковского закона

Для тяжести

для инерции

Из формул же (15.63), (15.5) имеем

Если же ввести смещения

то

Из соотношений (15.81) следует выражение для энергии деформации стержня

В частности, для стандартного материала второго рода имеем с учетом (15.77), (15.28), (15.29)

При малых удлинениях оси

и выражения (15.97), (15.91) упрощаются:

Если к тому же мал и угол поворота,

и уравнения (15.90), (15.95) несколько упрощаются: