Глава 15. ТОНКИЕ СТЕРЖНИ
В этой главе изложена общая теория тонких сплошных (кирхгофовских) стержней. В основу последней положены модифицированные гипотезы Кирхгофа, аналогичные использованным в гл. 11 при построении теории оболочек. Полученные соотношения пригодны для описания больших деформаций. Выведены условия сопряжения края оболочки с подкрепляющим ее стержнем.
Рис. 15.1
15.1. Деформация тонкого стержня
Рассмотрим тонкий стержень [см. (10.8)] сплошного сечения. Пусть (рис. 15.1)
(см. скан)
радиусы-векторы материальной точки стержня до и после деформации, 
материальные прямоугольные декартовы координаты на поперечном сечении недеформироварнного стержня, 
радиусы-векторы материальной точки оси стержня, 
текущая длина недеформированной оси, 
координатные векторы.
Используя формулы (10.3), (10.4), (10.8), (6.5), имеем по (15.1)
Напомним, что здесь
единичный вектор касательной к оси недеформированного стержня. Принимая во внимание, что
где 
кратность удлинения оси стержня, находим из соотношений (15.2), (6.5), (10.3), (10.4) с учетом (10.8)
Отсюда и из (15.3), (6.9) получаем
Подставляя данные выражения (в (6.65), приходим к следующим значениям для главных инвариантов тензора деформации Коши:
где
Нетрудно проверить, что принятие вместо (15.7) приближенных выражений
приводит к выпадению в (15.8) лишь малых [в силу (10.8)] подчеркнутых членов. Таким образом, принятие приближенных выражений (15.11) практически не меняет главные инварианты, а значит, и энергию деформации стержня. Это и оправдывает использование в дальнейшем выражений (15.11).
Из (15.8в) и (15.9) следует, что условие несжимаемости материала 
приводит к соотношениям
Соотношения (15.1)-(15.2) представляют собой математическую запись обобщенной геометрической гипотезы Кирхгофа (гипотезы плоских сечений). Принятое обобщение позволяет учесть деформационное изменение размеров поперечного сечения стержня как вследствие его равномерного растяжения 
так и изгиба 
При этом, как и в изложенной в гл. 11 теории оболочек, введение указанных параметров не увеличивает порядка разрешающей системы дифференциальных уравнений.
