15.10. Деформация стержня кругового сечения в цилиндрической полости

Следуя работе Л. А. Рябовой, рассмотрим стержень кругового сечения длиной сжимаемого осевой силой в цилидрической полости радиусом При этом

Рис. 15.9

В местах контакта стержня со стенкой полости сила отпора направлена к оси стержня. Примем простейшую модель винклеровского основания, согласно которой сила отпора пропорциональна величине вдавливания стержня в полость (рис. 15.9):

т. е.

где коэффициент податливости основания (коэффициент постели). Согласно рис. 15.9

Введем в рассмотрение безразмерные величины

Исключая теперь из первого, третьего и пятого выражений

системы уравнений, последней в параграфе 15.7, величины (15.102), приходим к нелинейному комплексному уравнению

Здесь первая Эйлерова сила, при которой шарнирно опертый прямой стержень теряет устойчивость. Разделяя здесь вещественную и мнимую части, приходим к искомой системе уравнений

К полученной системе уравнений восьмого порядка остается добавить условия шарнирного опирания на концах стержня:

Численное решение двухточечной нелинейной краевой задачи (15.106)-(15.107) искалось сочетанием методов квазилинеаризации Ньютона-Канторовича и ортогональной прогонки.

Рис. 15.10

На рис. показаны проекции деформированной оси стержня на плоскость рис. 15.10 отвечает случаю, когда сжимающая сила только что превысила Эйлерову для Величины вдавливания А равны при этом соответственно 0,55, 0,085 и 0,013. При имеем соответственно (рис. 15.11) Начиная с при «ожесточении» стенки наблюдается участок отхода стержня от стенки полости (рис. 15.12) и

Отметим, что при использованный алгоритм перестает сходиться. Этот момент отвечает практически жесткой стенке полости (скважины).

Рис. 15.11

Рис. 15.12

При этом вдавливание практически отсутствует. Имеются лишь две точки касания и участок отхода между ними стержня от стенки.