9.5. Малосжимаемый материал

Реальные сплошные (не пористые) упругие материалы малосжимаемы. Поэтому естественно принять линейную зависимость от А, т. е. положить

Подстановка полученных выражений в однородное статическое уравнение (9.18) приводит с учетом (9.8) к зависимости

из которой следует

Здесь произвольная функция своего аргумента. Пусть

Подстановка этих выражений в (9.36) дает

Запишем решение этого алгебраического уравнения в виде

Отсюда и из (9.37) следует

где вторая произвольная функция.

Используя теперь формулы (9.19), (9.20), (9.32), (9.35), (9.36), приходим к основным краевым задачам для введенной пары функций комплексной переменной

Исключая из них члены в скобках, приходим к связи между граничными значениями напряжений и координат (смещений):

Решив первую задачу, можно определить отсюда форму деформированного контура, а согласно (4.38) — кратность удлинения контура и поворот касательной к нему. Зная же решение второй задачи, можно установить напряжения на контуре. Существенно, что в полученную связь не входит вторая функция

С учетом формул (9.15), (9.17), (9.13), (9.35), (9.36) находим

Применительно к потенциалу (9.35) условия перехода упругого закона при малых деформациях в закон Гука принимают вид

Подстановка выражения (9.38) в (9.39) приводит с учетом (9.8) к тождеству

из которого дифференцированием по получаем

Найденные выражения с учетом (9.46), (9.47), (9.22) приводят к следующим ограничениям на выбор функций и :