Глаза 17. АНИЗОТРОПИЯ УПРУГИХ СВОЙСТВ

Трудно найти область человеческих знаний, в которой в той или иной степени не использовались бы соображения симметрии. Широко ими пользуются и в теории упругости при рассмотрении как естественных, так и искусственно созданных анизотропных сред. В параграфе 17.1 приводятся сведения о преобразованиях симметрии, необходимые для выяснения структуры закона упругости для анизотропных тел. В параграфах 17.2-17.8 излагается круг вопросов, связанных с законом Гука для анизотропных материалов. Особое внимание уделяется несжимаемому ортотропному материалу в плоском напряженном состоянии.

Оригинальным здесь является подход к рассмотрению вопроса о пределах изменяемости упругих постоянных, введение симметричных коэффициентов Пуассона. В последних параграфах рассматривается нелинейно анизотропный материал при больших деформациях. Полученные зависимости применены к ортотропным оболочкам.

17.1. Симметрия анизотропных сред

Механические, в том числе и упругие, свойства сред во многом определяются наличием у структуры материала отдельных элементов симметрии конечных тел. Рассмотрим какую-нибудь трехмерную фигуру. Речь об ее симметрии может идти только в случае, если фигура разбивается на несколько одинаковых частей, расположенных в некотором правильном порядке. Правильность определяется преобразованиями симметрии, переводящими равные части фигуры друг в друга. Если при этом не различать одинаковые части фигуры, то можно сказать, что преобразования симметрии совмещают фигуру саму с собой.

Несложные геометрические построения показывают [69], что преобразованиями симметрии могут быть: а) отражения в плоскостях, б) повороты вокруг осей симметрии, в) зеркальные повороты.

Отражение в плоскости показано на рис. 17.1. Здесь изображена фигура, состоящая из двух тетраэдров с основаниями, лежащими в плоскости чертежа. Отражение в плоскости симметрии, проходящей через общее ребро тетраэдров перпендикулярно к плоскости чертежа, переводит части фигуры друг в друга. Плоскость симметрии будем обозначать символом

На рис. 17.2 показана фигура, имеющая ось симметрии, проходящую через точку соприкосновения тетраэдров перпендикулярно к плоскости чертежа. Ось поворота именуется осью симметрии порядка, если число самосовмещения фигуры при полном повороте. Ось симметрии порядка обозначим символом Если фигура совмещается при повороте на любой угол, говорят, что имеет место ось симметрии бесконечного порядка и обозначают ее символом

Сущность операции зеркального поворота демонстрируется на рис. 17.3, где показана зеркальная ось 4-го порядка. Прямую называют зеркальной осью порядка, если для самосовмещения фигуры необходимо повернуть ее вокруг прямой на угол а затем отразить в плоскости, перпендикулярной к прямой. Зеркальную ось порядка обозначают символом

Кроме перечисленных основных преобразований симметрии употребляются и некоторые другие, например инверсия — отражение в точке. Но они уже не являются самостоятельными преобразованиями, а могут быть получены через рассмотренные выше. Так, из рис. 17.4 видно, что инверсия эквивалентна зеркальному повороту 2-го порядка.

Симметрия кристаллов и анизотропия их физических свойств определяются кристаллической решеткой, в узлах которой располагаются атомы, ионы или молекулы. Периодическая решетка у кристаллов существенно уменьшает число допустимых элементов симметрии. Покажем, например, что не каждая ось симметрии допустима. Пусть через узел А (рис. 17.5) проходит перпендикулярно к плоскости чертежа ось симметрии порядка.

Рис. 17.1

Рис. 17.2

Рис. 17.3

Через любой узел решетки, в частности через В, проходит ось того же порядка. Совершая поворот вокруг узла А на угол мы должны, очевидно, совместить решетку саму с собой. При этом узел В переходит в некоторый узел В. Аналогично при повороте вокруг В на тот же угол, но в противоположном направлении узел А переходит в узел А.

Рис. 17.4

Рис. 17.5

Отсюда следует, что отрезок должен быть кратен периоду решетки а, т. е.

где целое число. Отсюда следует, что где — также целое число. Поскольку из этого неравенства следует, что имеются лишь пять значений (отвечающих . Таким образом, в кристаллах возможны оси симметрии лишь 1, 2, 3, 4 и 6-го порядков.

Показано [69], что существуют 32 существенно различных кристаллических класса, отнесенных к семи кристаллическим системам — сингониям. Все они сведены в табл. 17.1; в третьем

столбце ее помещены порождающие элементы симметрии, комбинации которых позволяют получить все преобразования симметрии кристаллического класса. В четвертом столбце помещены порождающие элементы симметрии, которые с дополнительным преобразованием инверсии позволяют получить все преобразования симметрии кристаллического класса.

Таблица 17.1 (см. скан)

В третьем и четвертом столбцах точка сопровождает плоскость, параллельную оси, а двоеточие — перпендикулярную. Косая черта сопровождает следующую за ней ось симметрии, равнонаклоненную к координатным осям.

Кроме перечисленных кристаллических классов имеются семь классов — текстур, сведенных в табл. 17.2. При этом во второй строке приведены их порождающие элементы I, а в третьей — порождающие элементы, дающие с преобразованием инверсии все преобразования симметрии II. Как видно из приведенной таблицы, текстуры являются средами, имеющими среди своих элементов симметрии ось симметрии бесконечного порядка

Из обеих таблиц усматривается, что кристаллические классы 4, 5, 7, 11, 13, 14, 19, 20, 21, 25, 26 и текстуры имеют одну плоскость симметрии. Имеют ее и многие искусственные материалы.

Ортотропными называют материалы, имеющие три взаимно ортогональные плоскости симметрии. Ортотропными являются

кристаллические классы 8, 15, 22, 27 и текстура . К ним же относятся и многие искусственные материалы: фанера, бумага, композитные материалы регулярного строения.

Таблица 17.2 (см. скан)

Трансвереальная изотропия характеризуется наличием поворотной оси симметрии бесконечного порядка. Согласно табл. 17.2 трансверсальной изотропией обладают все текстуры.

Изотропными называют среды, содержащие в качестве элементов симметрии всевозможные повороты и отражения.

В механике анизотропных сред используют принцип Неймана, согласно которому симметрия рассматриваемого физического (механического) свойства не может быть ниже симметрии среды. При этом физическое свойство может обладать и более высокой симметрией. Так, например, кубические кристаллы в отношении свойств, описываемых тензорами второго ранга (в частности, оптических), ведут себя как изотропные тела. Далее, свойства, описываемые тензорами четных рангов (например, упругость), инвариантны относительно преобразования инверсии.

Читатель, знакомый с началами современной алгебры, без сомнения, давно уже догадался о том, что сказанное в этом параграфе имеет самую тесную связь с теорией групп (группы симметрии). Мы сознательно избежали использования соответствующей (конечно, более точной) терминологии, имея в виду прикладную направленность книги и скромный объем необходимых для дальнейшего сведений. Более подробно ознакомиться с затронутыми вопросами симметрии можно по книгам [69, 52].