15.2. Закон упругости
Для сжимаемого материала примем в соответствии с (10.8) следующие представления:
где
Подстановка выражений (15.13) в упругий закон (6.62) дает
Отсюда и из (15.11) находим
Примем статическую гипотезу Кирхгофа, согласно которой 
напряжения на продольных (параллельных оси) сечениях стержня значительно меньше нормального напряжения на поперечном сечении. При нашем подходе гипотеза сводится к девяти приближенным равенствам:
Первые три согласно (15.15а) записываются в виде
С учетом (15.14) и (15.11) усматривается, что последнее равенство удовлетворяется тождественно, а второе совпадает с первым. Таким образом, существенным является лишь одно равенство, определяющее X:
С учетом выражений (15.16) оставшиеся в (15.17) шесть уравнений дают
Отсюда и из (15.11) следует, в частности, что
Таким образом, материальные координаты на деформированном поперечном сечении ортогональны везде, а не только на оси, как предполагалось вначале.
Используя оставшиеся в (15.15) и (15.16) соотношения, находим с учетом (15.14)
Перейдем в полученных соотношениях к упругому потенциалу, рассматриваемому как функция от 
Прежде всего из (6.65), (15.11) и (15.14) находим, выписывая лишь отличные от нуля производные,
Для стандартного материала второго порядка согласно (3.44), (3.35) и (15.9)
Отсюда и из (15.26), (15.27) находим
Рассмотрим несжимаемый материал, добавляя к представлениям (15.13) следующие:
Из них прежде всего вытекает
Как было установлено в параграфе 6.4, при переходе к несжимаемому материалу можно использовать соответствующие зависимости сжимаемого материала, производят в них замены (6.76). Так, из соотношения (15.15а) получаем с учетом первого из равенств (15.17), (15.7), первого из соотношений (15.12), (15.24), (15.30)
Используя отвечающие 
соотношения (15.16), находим из (15.17), (15.11) и в силу того, что отсутствующие в (15.21) производные равны нулю, 
При этом из (15.12) следует
Теперь из тех же соотношений
Из оставшихся зависимостей (15.16) находим [с учетом все той же замены (6.76)]
Для трехконстантного потенциала (5.29)
соотношения (15.31) дают
Нетрудно проверить, что подчеркнутые члены вносят для тонкого стержня значительно меньший вклад, чем аналогичные члены, входящие в (15.34). Опуская их, получаем
Наконец, из оставшихся в (15.32) соотношений находим
Для неогуковского материала 
