17.5. Пределы изменяемости упругих постоянных. Объемные и сдвиговые деформации
Руководствуясь правилом замены индексов (17.10), запишем закон Гука (17.1а, б) в виде
Для упругого потенциала (плотности энергии деформации) 
имеем выражение
где с учетом (17.16), (17.17) имеем аналогично (17.23)
Отождествляя величины 
с рассмотренными в параграфе 17.4, видим, что выполнение условий 
(17.22) и аналогичных для автоматически обеспечивает положительность упругого потенциала при произвольных (малых) деформациях и напряжениях. Величины 
можно рассматривать как обобщенные модули Юнга, а 
как обобщенные симметричные коэффициенты Пуассона различных порядков (под порядком будем понимать величину 
Тензор деформации можно представить в виде суммы
Первое слагаемое — шаровая часть
определяет деформацию изменения объема, а второе слагаемое — девиаторная часть
характеризует деформацию формоизменения при сохранении объема.
Подстановка суммы (17.26) в (17.23) приводит к соответствующему разбиению тензора напряжений
где
При деформации всестороннего сжатия имеем для среднего нормального давления
Отсюда и из (17.23)-(17.24) находим
Из полученного выражения для (положительного) упругого потенциала следует, что при деформации всестороннего сжатия 
среднее нормальное напряжение отрицательно.
Заметим, что для анизотропного материала полученный результат, вообще говоря, не совпадает с утверждением, что всестороннее нормальное напряжение уменьшает объем. Для доказательства последнего вернемся к соотношениям (17.26), (17.27). При всестороннем нормальном давлении
и аналогично предыдущему из (17.24)
где
отвечающее всестороннему обжатию изменение объема. Отсюда и следует, что всестороннее нормальное давление уменьшает объем.
