17.5. Пределы изменяемости упругих постоянных. Объемные и сдвиговые деформации

Руководствуясь правилом замены индексов (17.10), запишем закон Гука (17.1а, б) в виде

Для упругого потенциала (плотности энергии деформации) имеем выражение

где с учетом (17.16), (17.17) имеем аналогично (17.23)

Отождествляя величины с рассмотренными в параграфе 17.4, видим, что выполнение условий (17.22) и аналогичных для автоматически обеспечивает положительность упругого потенциала при произвольных (малых) деформациях и напряжениях. Величины можно рассматривать как обобщенные модули Юнга, а как обобщенные симметричные коэффициенты Пуассона различных порядков (под порядком будем понимать величину

Тензор деформации можно представить в виде суммы

Первое слагаемое — шаровая часть

определяет деформацию изменения объема, а второе слагаемое — девиаторная часть

характеризует деформацию формоизменения при сохранении объема.

Подстановка суммы (17.26) в (17.23) приводит к соответствующему разбиению тензора напряжений

где

При деформации всестороннего сжатия имеем для среднего нормального давления

Отсюда и из (17.23)-(17.24) находим

Из полученного выражения для (положительного) упругого потенциала следует, что при деформации всестороннего сжатия среднее нормальное напряжение отрицательно.

Заметим, что для анизотропного материала полученный результат, вообще говоря, не совпадает с утверждением, что всестороннее нормальное напряжение уменьшает объем. Для доказательства последнего вернемся к соотношениям (17.26), (17.27). При всестороннем нормальном давлении

и аналогично предыдущему из (17.24)

где

отвечающее всестороннему обжатию изменение объема. Отсюда и следует, что всестороннее нормальное давление уменьшает объем.