14.12. Прямоугольная мембрана
В декартовых координатах рассмотрим нагруженную нормальным давлением 
шарнирно-опертую прямоугольную мембрану (рис. 14.12). Для достоверности решения этой задачи были использованы два подхода. Первый, разработанный С. А. Кабрицем, состоял в использовании изложенного в параграфе 14.2 вариационного подхода. Применительно к рассматриваемой задаче вариационное уравнение Лагранжа (14.12) принимает вид
Здесь для несжимаемого материала
Искомые декартовы координаты точек деформированной срединной поверхности задаются выражениями 
)
где 
искомые константы, а 
координатные функции, удовлетворяющие условиям шарнирного опирания. Подробно была рассмотрена квадратная пластина 
При проведении расчета было принято 
При этом, как показали результаты расчетов, достаточно положить 
Рис. 14.12
Эта же задача была рассмотрена 
. Колпаком методом сеток. Использовалась консервативная разностная схема второго порядка аппроксимации. Полученная при этом система нелинейных алгебраических уравнений решалась методом простой итерации. Отвечающие сеткам 
значения прогибов и напряжений практически совпали вплоть до прогибов порядка длины стороны квадрата.
Решения, полученные двумя описанными методами, практически совпали. На рис. 14.13 показана зависимость безразмерного давления от безразмерного прогиба центра мембраны для различных материалов [значений 
в упругом потенциале (5.30)].
На рис. 14.14 дан профиль сечения мембраны 
а на рис. 
диагонали) при различных значениях внешнего нагружения. На рис. 14.16 представлено распределение напряжений в сечении 
а на рис. 14.17 — в сечении 
Рис. 14.13
Рис. 14.14
Рис. 14.15
Рис. 14.16.
Рис. 14.17
Рис. 14.18
Из рис. 14.17 следует, что при умеренных нагрузках максимальные напряжения реализуются на некотором расстоянии от центра мембраны. С ростом нагрузки местоположение максимальных напряжений приближается к центру мембраны. Из рис. 14.17
усматривается наличие одноосных зон (зон сжатия) в углах, не имеющих в рассматриваемой задаче практического значения. Для уточнения решения в углах необходим дополнительный анализ. Зависимость напряжений в центре мембраны от прогиба центра показана для 
на рис. 14.18.
