2.5. Сопряженные пары тензоров

Вернемся к соотношению (2.44). Разбивая с учетом (1.17) тензор на сумму его симметричной и антисимметричной частей и учитывая свойство (1.38), запишем (2.44) в виде

В левой части полученного равенства — плотность (в расчете на единицу недеформированного объема) работы напряжений. Следуя Хиллу 155], будем называть тензоры, свернутые в

правой части, сопряженной парой тензоров. Таким образом, нами получена четвертая из следующих пяти сопряженных пар тензоров

удовлетворяющих соотношению

и представляющих собой как бы пару обобщенная сила — обобщенное перемещение. Остальные пары выводятся путем аналогичных преобразований.

Тензор называют в зарубежной литературе симметричным (вторым) тензором Пиала — Кирхгофа, симметричным тензором Био. Систематический вывод (которому мы следовали) дан Хиллом [55]. Пятая и, по-видимому, последняя пара получена автором.

Что касается тензора то он определяется соотношением

Для изотропно упругого материала и деформации с сохранением главных осей можно принять

Используя соотношение (2.43а), можно прийти к шестой (номинальной) паре сопряженных тензоров

Таким образом, шестую пару сопряженных тензоров составляют тензор номинальных напряжений и градиент движения. В отличие от первых пяти последняя пара сопряженных тензоров зависит не только от деформации, но и от поворота материальной частицы.

Отметим, что значительно ранее вопрос о сопряженных парах тензоров был рассмотрен в работе В. В, Новожилова [39],